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 Equation matrice

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abdelbaki.attioui
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abdelbaki.attioui

Masculin Nombre de messages : 2558
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MessageSujet: Equation matrice   Equation matrice EmptyMar 13 Déc 2005, 16:31

Bonjour
1) Soit M dans M_n(C), résoudre l'équation X+tX=tr(X) dans M_n(C) où tX est la transposée de X et tr(X) est la trace de X.
2) Soient A, B dans M_n(K), résoudre X+tr(X)A=B dans M_n(K)

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tµtµ
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MessageSujet: Re: Equation matrice   Equation matrice EmptyDim 18 Déc 2005, 08:28

Celui-ci ne semble pas trop dur ... (piège ?)

1) par linéarité de la trace et tr(tX)=tr(X) cela donne tr(X)=0 et donc X antisymétrique (qui marche bien)

2) on prend la trace de l'équation encore cela donne :

tr(X) (1+tr(A)) = tr(B)

si tr(A) != -1 : une seule solution X = B - A/(1+tr(A))
si tr(A) = -1 : il faut tr(B) = 0 et alors B + x * A sont les solutions

bounce
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lolo
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MessageSujet: Re: Equation matrice   Equation matrice EmptyDim 18 Déc 2005, 16:13

Bonjour tutu,

Pour le 1) l'équation n'est-elle pas X + tX = Tr(X) I dans ce cas
en prenant la trace :
2Tr(X) = n Tr(X) d'où n = 2 ou bien Tr(X) = 0 (en caractéristique nulle)?

Si n = 2 x(1,2)=-x(2,1) et 2x(1,1)= x(1,1) = x(2,2) d'où x(1,1)=x(2,2).

lolo
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tµtµ
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MessageSujet: Re: Equation matrice   Equation matrice EmptyDim 18 Déc 2005, 19:02

A oui j'avais zappé le cas n=2
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MessageSujet: Re: Equation matrice   Equation matrice Empty

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