Un défi

qui peut calculer cette limite avec des methodes de lycée?

lim (sin(x)-x)/x^3
x tend vers 0

On peux utiliser le théorème des gendarmes en démontrant que :
(A) : x- x^3/3! < sin(x) < x- x^3/3! + x^5/5! avec x>0
On considère f(x) = sin(x) - x + x^3/3! , tel que x>0
f'''(x)=1-cos(x)>0
donc f'' croissante : x>0 => f''(x)>f''(0)=0
donc f' croissante : x>0 => f'(x)>f'(0)=0
donc f croissante : x>0 => f(x)>f(0)=0
On utilise la même méthode pour démontrer l'inégalité d'à droite et on déduit (A) puis on utilise le théorème des gendarmes pour trouver la limite quand x tend vers 0 à droite

quand x<0 :
Il faut démontrer que :
(B) : x- x^3/3! > sin(x) > x- x^3/3! + x^5/5!
f'' croissante : x<0 => f''(x)<f''(0)=0
f' décroissante : x<0 => f'(x)>f'(0)=0
f croissante : x<0 => f(x)<f(0)=0
On fait aussi la même chose et on trouve la limite quand x tend vers 0 à gauche

Dans les deux cas : la limite à droite = la limite à gauche = -1/6

Sinon, il est évident que l'exercice est très facile à faire avec des méthodes du supérieur, il suffit de faire l'hopital :

lim(x->0) (sin(x)-x)/x^3
= lim(x->0) (cos(x)-1)/3x²
= lim(x->0) (1-cos(x))/x² . -1/3
= -1/6

On peux même utiliser le développement limité du sinus en 0

BSR à toutes et Tous !!
BSR achraf_djy !!

Si tu veux aller sur ce Topic !!

http://www.mathsland.com/Forum/lire-message.php?forum=1&identifiant=70e522a48622fe6053d5c71d390ca89c

Il y a tout un débat sur cette question là !
Ce n'est pas un défi que tu poses là mais une chose QUASI -IMPOSSIBLE car vous ne disposez pas encore des outils nécessaires .....

LHASSANE

Je suis d'accord, au moins on peux par exemple donner cette limite :
lim(x->0) (tan(x)-x)/x²
Avec l'hopital, on trouve directement le résultat :
=lim(x->0) tan²(x)/2x
=lim(x->0) tan²(x)/x² . x/2
= 0
Mais en utilisant des techniques de la terminale (théorème des gendarmes comme dans le cas suivant) on peux suivre ces étapes :
1) démontrer que pour tout x€]0;pi/2[ ; cos(x)>1-x²/2
2) En déduire que pour tout x€]0;pi/3[ ; tan(x)-sin(x)<x^3
Puis que pour tout x€]0;pi/3[ ; tan(x)<x^3+x
3) En déduire la limite : lim(x->0) (tan(x)-x)/x²