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 dm sur les suites

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maya1011
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MessageSujet: dm sur les suites   dm sur les suites EmptyJeu 15 Oct 2009, 18:05

Bonjour, j'ai un dm de maths et je bloque sur cet exercice :

On considère la suite (Un) définie par U0 = 1 et Un+1 = (3/4) Un + 2

1) Tracer dans un repère orthonormal les droites D d'équation y=3/4x +2 et delta d'équation y=x. Calculer les coordonnées du point d'intersection A.

2) On sait que U0 = 1 donc U0 < 8
Montrer que si Up< 8 alors on a aussi Up+1< 8

3) Montrer que (Un) converge vers 8


Aidez-moi svp
Merci
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Oeil_de_Lynx
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MessageSujet: Re: dm sur les suites   dm sur les suites EmptyJeu 15 Oct 2009, 18:47

BSR maya1011 !!

Ton exo est si facile qu'il se laisse faire ......
Des indications :
1) Les coordonnées du point d'intersection s'obtiennent en résolvant l'équation (3/4).x+2=x celà te donnera l'abscisse du point cherché puis son ordonnée sera égale à son abscisse ....
2) Par récurrence sur p ...... Un vrai régal de facilité ...
3) La suite est croissante et majorée donc .......
Si L est sa limite alors L=(3/4)/L+2 puis tu retombes sur la question 1) .

Essaye toute seule , tu y arriveras sûr !!

LHASSANE
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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: dm sur les suites   dm sur les suites EmptyJeu 15 Oct 2009, 18:54

pour 1),tu traces,j'ai rien à ajouter,ce sont deux droits donc te suffit deux points.....

pour 2) tu utilises la relation de récurrence,on a u(p+1)=(3/4)*u(p)+2=<(3/4)*8+2=8.

pour 3),c'est une suite arithmétique,donc tu peux avoir la formule explicite de u(p) en fonction de p,et puis la limite c'est évidente!

à part ça, on a u est majoré (c'est la question 2) qui n'est autre qu'une démonstration par récurrence de ça),et elle est croissante (ça à toi le le prouver,c'est facile!) donc convergente,notons l sa limite,dans la relation de récurrence,on fait tendre p à l'infinie ce qui donc l=(3/4)*l=2 ==>l=8!

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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: dm sur les suites   dm sur les suites EmptyJeu 15 Oct 2009, 18:56

désolé monsieur LHASSANE, j'ai pas vu votre élégante solution,j'ai posté la mienne au même moment que vous!

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maya1011
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MessageSujet: Re: dm sur les suites   dm sur les suites EmptyJeu 15 Oct 2009, 19:17

ok pour le 1) et le 2)

Mais pour le 3) je ne vois pas ce que veut dire converger ?
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Oeil_de_Lynx
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MessageSujet: Re: dm sur les suites   dm sur les suites EmptyJeu 15 Oct 2009, 19:25

maya1011 a écrit:
ok pour le 1) et le 2)

Mais pour le 3) je ne vois pas ce que veut dire converger ?

BSR maya1011 !!
Celà veut dire Lim Un =8 lorsque n ---->+oo

LHASSANE
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maya1011
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MessageSujet: Re: dm sur les suites   dm sur les suites EmptyJeu 15 Oct 2009, 19:38

A ok donc il faut que je calcule Un en fonction de n
pour ensuite montrer que la limite quand n tend vers +∞ =8

Ok merci beaucoup pour votre aide Smile
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Oeil_de_Lynx
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MessageSujet: Re: dm sur les suites   dm sur les suites EmptyJeu 15 Oct 2009, 19:52

maya1011 a écrit:
A ok donc il faut que je calcule Un en fonction de n
pour ensuite montrer que la limite quand n tend vers +∞ =8

Ok merci beaucoup pour votre aide Smile

Non pas toujours !!
Ici c'est peut etre faisable comme l'a signalé Radouane !!
Mais en fait ce n'est pas nécessaire puisque ta suite est une SUITE RECCURENTE de la forme :
uo=1 et u(n+1)=f(un) pour tout entier naturel n.
La fonctiion f est ici :
x ---------------> f(x)=(3/4).x+2
f est continue de IR dans IR ;
On sait alors que si la suite (un)n CONVERGE alors sa limite L vérifie l'équation f(L)=L .

LHASSANE


Dernière édition par Oeil_de_Lynx le Lun 19 Oct 2009, 17:31, édité 1 fois
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maya1011
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MessageSujet: Re: dm sur les suites   dm sur les suites EmptyVen 16 Oct 2009, 15:48

Ok j'ai compris
Merci beaucoup pour votre aide =)
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MessageSujet: Re: dm sur les suites   dm sur les suites Empty

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