oral X

soit A et B deux matrices de M_n(C) telles que A²B²=I,montrer que AB-BA n'est pas inversible.

C'est faux.
Pour A=[[ 0,-1] [1,0] ] et B=[[ i,0] [0,i] ] (avec i²=-1) on a A²=B²=-I donc A²B²=I alors que AB-BA=[[ 0,2i] [2i,0] ] est inversible.

d'aprés mes calcules,l'exemple de jandri n'est pas correct!

radouane_BNE a écrit:

d'aprés mes calcules,l'exemple de jandri n'est pas correct!

BJR à Toutes et Tous !!
BJR Radouane !!

C'est tout à fait exact !!!
En effet la matrice B est SCALAIRE ( B=i.I2 ) donc COMMUTE avec A ...
Par suite AB-BA=Matrice Nulle ne saurait être inversible .
Celà ne nous empêchera pas de réfléchir à la question de Khadija .

Bonne Journée !!

LHASSANE

Je me suis effectivement trompé en écrivant la matrice B, il manque un signe moins pour l'un des coefficients i.
En fait on peut donner un contre exemple dans R avec la même matrice A et B=[[ 0,-1/2] [2,0] ] : A²=B²=-I alors que AB-BA=[[ -3/2,0] [0,3/2] ].
En revanche si les matrices sont d'ordre n impair la matrice AB-BA est non inversible car son déterminant est nul (facile à montrer).

soit A et B deux matrices de M_n(C) telles que A²B²=I,montrer que AB-BA n'est pas inversible ????

On trouve cette exo dans presque tout les livres d'exo et d'oraux

ah oui moi j'avais pas l'honneur de le voir,tu peux poster une solution donc à l'exo!

supposez le contraire.puis essayez de montrer que la dimension est paire ensuite que det(AB)=-1 et det(AB-BA)=<0 et trouvez une contradiction .(c ma demarche mais ce n'est pas interessant de poster la solution,ce qui compte le plus est la réflexion collective).
a+