urgent please (c'est un colle)

soit A et B deux matrices de M_3(Z) telle que det(A)=det(B)=0 et AB=BA,considérons un entier q non nul fixé.

prouver l'existence de m et n telle que det(A^{q}+B^{q})=m^{q}+n^{q}

olala,c'est dure comme exercice de colle! ça fait deux jours maintenant que j'essaye de le résoudre vainement!

bonjour

Oui, Redouane

C'est un bon exo de colle

Genre d'exercice qui posséde un pouvoir et permet de bien selectionner les candidats, pas parce qu'ils donnent la solution mais par les idées qu'ils suggérent à propos de la question

D'ailleur même maintenant toute idée peut être citée ici même si on ne donne pas la solution compléte

Sinon on pourra donner des indications ...

hmmm j'étais donc malchanceuse,de toute façon j'ai donné qcq idées au prof qu'il a appréciées!

d'aprés ton ennoncé , m ,n sont quelconques ; si c'est vraiment le cas je propose une piste .
si on note (a1,b1,c1) (a2,b2,c2) les deux systèmesde valeurs propres respectivement de A et B,

les deux matrices commutent , elles sont donc simultanèment trigonalisables , on obtient donc pour q dans N :
det(A^q+B^q)=(a1^q+a2^q)(b1^q+b2^q)(c1^q+c2^q)
or a1b1c1=0 et a2b2c2=0
si par exemple a1=a2=0 , le determinant vaut 0 , et on prend m=n=0
dans une autre configuration , on obtient quelque chose de la forme :
det(A^q+B^q)=a1^q(b1^q+b2^q)c1^q=(a1b1c1)^q+(a1b2c1)^q=m^q+n^q
mais si m et n sont des entiers , il va falloir creuser encor

les solutions déjà donné ici,et plus que ça,y'en a deux méthodes:
http://www.mathsland.com/Forum/lire-message.php?forum=5&identifiant=4b0448db5915cbea69d29bf7f223bf87

bonjour

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