Hlawka's inequality

Prouvez que l'inégalité :



a lieu pour tout nombres complexes

jolie !

en leve au carré :

sum|z1+z2|²+2sum|(z1+z2)(z2+z3)|=<sum|z1|²+2|z1+z2+z3|²+2sum|z1z2|

en utilisant le fait que |z|²=z.z* avec z* conjugé de z on obtient facilement

|z1+z2|²+|z2+z3|²+|z3+z1|²=|z1|²+|z2|²+|z3|²+|z1+z2+z3|²

donc il suffit de montrer que :

sum|z1+z2||z2+z3| =< sum|z1z2|+|z1+z2+z3|²

qui est la somme de ces inegalités :

|z1+z2||z2+z3|=|z2(z1+z2+z3)+z1z3|=<|z2(z1+z2+z3)|+|z1z3|

|z2+z3||z3+z1|=|z3(z2+z3+z1)+z2z1|=<|z3(z1+z2+z3)|+|z2z1|

|z3+z1||z1+z2|=|z1(z1+z2+z3)+z3z2|=<|z1(z1+z2+z3)|+|z3z2|

ce qui fini la preuve