le plus diffiicle des oraux que mon prof ayant vu à X

soit f:[0,1]-->IR une fonction continue.soit de même g une fonction de classe C^{1} de [0,1] vers [0,1] tel que |g'|<1.


Montrer l'existence d'un unique b indépendant de f tel que:

lim(n-->infinie) int_{0}^{1} f(t_n(x))dx=f(b)


tel que t_n(x)=g(g(g(....g(x))))) avec g apparait n fois.

Pour commencer,
g' atteint son maximum et minimum car elle est continue sur un compact, donc en fait |g'|<k<1
Ensuite, g n'arrive pas dans (0,1), mais dans (A,B) avec |A-B|<k.
Il suffit de d'integrer g' pour le voir.
Par recurrence, |max(tn)-min(tn)|<k^n. et voila..

et aprés,je vois aucun piste!

En fait, tu pose f_{n}(x)=f(t_{n}(x)), cette suite de fonctions converge uniformément sur [0,1], vers la fonction
f(u(x)) où u(x)=lim_{n->+infini}t_{n}(x). En effet, on montre que la suite de fonction t_{n}(x) converge uniformément sur [0,1], en utilisant l'ypothèse sur la fonction g. Puis on utilise le fait que f est uniformément continue sur le compact [0,1] pour conclure que la suite de fonction f_{n}(x) converge un iformément sur [0,1] vers f(u(x)) qui est une fonction continue. Donc on permute limite et intégrale et donc l'intégrale converge vers int_{0}^{1}f(u(t))dt et cette dernière intégrale est égale (par le théorème de la moyenne) à un certain f(u(y))=f(b). C.Q.F.D

Le théorème du point fixe ==> il existe un unique b dans [0,1] tel que : g(b)=b et que pour tout x de [0,1] la suite (t_n(x))) converge vers b. Le théorème d'Ascoli ==> la suite de fonct. (t_n) c.u vers la fct constante b sur [0,1].

==>im(n-->infinie) int_{0}^{1} f(t_n(x))dx=f(b)

Tu as toutr a fait raison. En fait, la fonction u dans ma réponse est constante et elle est égale au point fixe de g. Mais pas besoin d'utiliser le théorème d'Ascoli si on veut rester terre à terre.