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 Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)

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nmo
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MessageSujet: Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) EmptySam 31 Oct 2009, 17:25

Je commence par proposer ces deux exercices:
Le premier:
x, y, z, et t sont des réels tels que x>=-1, y>=-1, z>=-1, t>=-1.
et x+y+z+t=2.
Démontrez que: x^3+y^3+z^3+t^3>=1/2.
Le deuxième:
x et y des réels tels que 1<x^2-xy+y^2<2.
Prouvez que 9/2=<x^4+y^4=<8.
Bonne chance.


Dernière édition par nmo le Jeu 16 Sep 2010, 16:31, édité 2 fois
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mp23
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) EmptyLun 09 Nov 2009, 11:49

je le copier ... ok?
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nmo
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) EmptyLun 09 Nov 2009, 12:35

Vas-y.
Tu peux le faire avec plaisir.


Dernière édition par nmo le Dim 20 Juin 2010, 17:40, édité 1 fois
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issam erriahi
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) EmptyLun 09 Nov 2009, 18:17

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Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) Gif.latex?\bg_black \150dpi (a_1^3+a_2^3+a_3^3+.....+a_n^3)(b_1^3+b_2^3+b_3^3+.....)\geq (a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+..



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Dernière édition par issam erriahi le Mar 17 Nov 2009, 17:36, édité 1 fois
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tahiri_soufiane
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) EmptyLun 09 Nov 2009, 18:54

m3alm issam
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mp23
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) EmptyLun 09 Nov 2009, 20:47

waaaaaaaw , ma9dartch n5arejha walakin 3issam m3alam !!! ma3andi mangol ....
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) EmptyLun 09 Nov 2009, 21:04

Selon la propriété que tu as écris on a (x^3+y^3+z^3+t^3)(1^3+1^3+1^3+1^3)>=x*1+y*1+z*1+t*1.
Donc (x^3+y^3+z^3+t^3)(1+1+1+1)>=2.
Donc (x^3+y^3+z^3+t^3)(4)>=2.
Donc (x^3+y^3+z^3+t^3)>=2/4.
Donc x^3+y^3+z^3+t^3>=1/2.
Je souhaite aussi savoir comment démontrer la propriété que tu as utilisé.


Dernière édition par nmo le Dim 20 Juin 2010, 17:41, édité 1 fois
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issam erriahi
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) EmptyLun 09 Nov 2009, 22:07

salut nmo

atontion


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xyzakaria
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) EmptyMar 10 Nov 2009, 13:27

bonjour issam tu pe m indiquer le nom de cette propriété.
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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) EmptyMar 10 Nov 2009, 16:30

c'est l'inégalité de Couchy-Shwartz,ou Holder sous la forme telle qu'elle est présenté dans la démo de Issam!

et vous êtres plus obligés d'apprendre ces trucs,ça figurment plus dans le programme des lyciens.

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Two things are infinite: the universe and human stupidity; and I'm not sure about the the universe
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issam erriahi
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) EmptyMar 10 Nov 2009, 16:39

salut radouane l'inégalité de couchy-shwartz


Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) Gif.latex?\150dpi (a_1^2+a_2^2+a_3^2+......a_n^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2.....+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+....
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issam erriahi
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) EmptyMar 10 Nov 2009, 16:48

alore

Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) Gif Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) Gif

Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) Gif.latex?\150dpi (a_1^m+a_2^m+a_3^m+...a_n^m)(b_1^m+b_2^m+b_3^m...+b_n^m)\geq (a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+..
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naplhitl
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) EmptyMar 17 Nov 2009, 17:13

ça c est des exos de tronc commun?
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naplhitl
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) EmptyMar 17 Nov 2009, 17:16

slt. a,b,c,d sont des nombes réels strictement positifs,montrez que
a^2+b^2+c^2+c^2>=(a+b)(c+d)
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naplhitl
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) EmptyMar 17 Nov 2009, 17:18

issam stp si t'as la réponse n'hesite pas
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houssam110
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) EmptyMar 17 Nov 2009, 19:05

Salut naplhtil
a²+c²>=2ac
a²+d²>=2ad
b²+c²>=2bc
b²+d²>=2bd
donc la somme donne
2(a²+b²+c²+d²)>=2(ac+ad+bc+bd)
==> a²+b²+c²+d²>=(a+b)(c+d)
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naplhitl
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) EmptyMar 17 Nov 2009, 20:31

trop fort merci bcp bcp
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naplhitl
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) EmptyMar 17 Nov 2009, 20:33

t as vite trouvé la solution??
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houssam110
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) EmptyMar 17 Nov 2009, 20:36

oué c faciile!!!
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naplhitl
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) EmptyMar 17 Nov 2009, 22:45

t as déjà passé les olympiades f tron commun?
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nmo
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) EmptyMer 18 Nov 2009, 16:42

Voici la solution:
On a (a-b)^2>=0.
Donc a^2-2ab+b^2>=0.
Soit a^2+b^2>=2ab.
De même b^2+c^2>=2bc.
Et c^2+d^2>=2cd.
Et finalement d^2+a^2>=2da.
Donc 2a^2+2b^2+2c^2+2d^2>=2ab+2bc+2cd+2da.
Donc a^2+b^2+c^2+d^2>=ab+bc+cd+da.
Donc a^2+b^2+c^2+d^2>=b(a+c)+d(a+c).
Et finalement a^2+b^2+c^2+d^2>=(b+d)(a+c).
Sauf erreur.


Dernière édition par nmo le Sam 19 Juin 2010, 11:27, édité 1 fois
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darkpseudo
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) EmptyMer 18 Nov 2009, 19:59

issam erriahi a écrit:
Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) Gif Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) Gif


Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) Gif.latex?\bg_black \150dpi (a_1^3+a_2^3+a_3^3+.....+a_n^3)(b_1^3+b_2^3+b_3^3+.....)\geq (a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+..



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slt issam ... d'apré ta démonstration
x^3+y^3+z^3+t^3 >= 2

or prenons x=y=z=t=1/2

donc x+y+z+t = 2

mais : x^3+y^3+z^3+t^3=1/2 et 1/2<2 donc ya un truc qui cloche dans
ton exo ...
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MohE
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) EmptyMer 18 Nov 2009, 20:16

issam ce n'était pas Caushy ce que tu utiliser, ton application du theoreme était incorecte; monsieur BNE s'est trompé en voyant ton message;
Holder est ainsi:
(x^3+y^3+z^3+t^3)(1+1+1+1)(1+1+1+1)>=(x+y+z+t)^3
Caushy est comme ceci:
(x²+y²+z²+t²)(1+1+1+1)>=(x+y+z+t)^2
le problem est deja posté.
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darkpseudo
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) EmptyMer 18 Nov 2009, 20:29

heu Merci Mohe ... déja je suis nouveau sur le forum je ne suis pas encor habituer a toutes les inéquations ^^ et celle de Holder je la connaissait même pas ^^ !! Au fait si on applique Holder on aura
(x^3+y^3+z^3+t^3)(1+1+1+1)(1+1+1+1)>=(x+y+z+t)^3
donc : 16 (x^3+y^3+z^3+t^3)>= 2^3
(x^3+y^3+z^3+t^3)>= 1/2
lol c'est super ^^ sa nous raméne directement au résultat merci encor ^^
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) EmptyMer 18 Nov 2009, 21:15

nmo a écrit:
x,y,z,t étant des réels tels que x>=-1, y>=-1, z>=-1, t>=-1.
et x+y+z+t=2.
démontrez que: x^3+y^3+z^3+t^3>=1/2.
Malheureusement,toutes les solutions présentées sont fausses,puisque l'application de l'inégalité de Holder ou Caushy-Schwartz n'est pas autorisée pour les réels négatifs.En effet,j'ai dèja rencontré l'inégalité ça fait à peu près 2 ans et j'ai dèja posté ma solution sur ce forum.La solution était ainsi :

rachid18 a écrit:
Posons :

x=a-1 , y=b-1 , z=c-1 et t=d-1

L'inégalité devient :

a^3 +b^3 +c^3 +d^3 -3(a²+b²+c²+d²) +27/2 > 0 avec a,b,c,d >= 0 et a+b+c+d=6,

On a :

a^3 +b^3 +c^3 +d^3 >= (a²+b²+c²+d²)²/(a+b+c+d) = (a²+b²+c²+d²)²/6 ( Caushy-Shwartz );

Il suffit de prouver que:

(a²+b²+c²+d²)²/6 -3(a²+b²+c²+d²) +27/2 > 0;

Ce qui est équivalent à :

(a²+b²+c²+d²-9)² > 0 ce qui est vrai.
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010) Empty

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