Matrices

Bonsoir, j'ai vraiment besoin de votre aide sur cet exo, une aide précieuse dont j'aurais besoin pour ce soir :

Il s'agit de calculer la matrice suivante M à la puissance N

cos a 0 -sin a
0 0 0
sin a 0 cos a

puis de calculer (Ma + Mb)^n avec a et b de R

Désolé, mais j'ai pas le temps de mettre l'exo sur LaTeX.

c'est assez urgent, je vous en remercie d'avance !!!!

dsl g pas encore etudie cette leçon( le sin)

_Amine_ a écrit:

Bonsoir, j'ai vraiment besoin de votre aide sur cet exo, une aide précieuse dont j'aurais besoin pour ce soir :

Il s'agit de calculer la matrice suivante M à la puissance N

cos a 0 -sin a
0 0 0
sin a 0 cos a

.....

BSR _Amine_ !

Je réagis à chaud à ton exo ....
Il faut penser aux matrices de permutations ... Il existe une permutation de la Base Canonique {e1,e2,e3} de IR^3 et c'est la suivante
{e1,e2,e3} -------------> {e1,e3,e2}
telle que par rapport à cet ordre
la matrice s'écrive

cos a -sina 0
sina cosa 0
0 0 0

Autrement dit M est semblable à la matrice que j'ai écrite ci-dessus !!
Le BLOC supérieur correspond à une ROTATION ....
Enfin tu utilises la Règle de la Multiplication de Matrices par BLOCS ....

LHASSANE

sauf qu'on est pas arrivé aux permutations :S
Là il faut que je fasse une conjecture et que je démontre le résultat par récurrence...
Je suis arrivé à l'ordre 5 et j'ai pas remarqué de similitudes entre les ordres, donc pas pu conjecturer...

Salut _Amine_ !!

Essayes de trouver une matrice J carrée d'ordre 3 telle que J^2=I

C'est la matrice de l'application linéaire u définie par
u(e1)=e1 ; u(e2)=e3 et u(e3)=e2
Grace au Théorème de Changement de Bases , tu auras :

cos a -sina 0
sina cosa 0
0 0 0


sera égale à J.M.J donc M=J.NJ
ou N est la matrice ci-dessus .

et après c'est facile car M^k=J.N^k.J pour tout entier naturel k
et on sait calculer facilement N^k ......

LHASSANR

sans doute ce que tu as mis est juste, mais on en a point parlé dans notre cours...
En fait je suis en ECS, pas MPSI, on a pas le même programme, et là on est qu'au début de la leçon, et jusque là, la conjecture est le seul moyen de résoudre des matrices d'ordre n.
J'ai passé plus d'1h30 à essayer de conjecturer : NADA.
J'ai factorisé par cos puis essayé la conjecture : walo
J'ai factorisé par sin puis essayé la conjecture : walo
Ca commence à me désespérer, parce que je sais que c'est pas très dur, mais j'y arrive pas quand même.
Alors s'il y a moyen de résoudre la question grâce à la conjecture, je t'en serais infiniment reconnaissant Mr.Hassan

Re-Salut _Amine_ !

Sinon , qu'est ce que tu as conjecturé ???
La puissance k-ième de M ne serait pas par hasard

cos(ka) 0 -sin(ka)
0 0 0
sin(ka) 0 cos(ka)

Dans ce cas , la démo par récurrence sur k te sauvera peut être !!
Celà devrait marcher .....
à condition de te souvenir des Formules
cos(u+v)=.....
et
sin(u+v)=.....

et pout ta 2ème Question , tu devrais penser à la formule de Binôme de NEWTON à la condition de vérifier que Ma et Mb COMMUTENT .....

Bon Courage !!
LHASSANE

Oeil_de_Lynx a écrit:

Re-Salut _Amine_ !

Sinon , qu'est ce que tu as conjecturé ???
La puissance k-ième de M ne serait pas par hasard

cos(ka) 0 -sin(ka)
0 0 0
sin(ka) 0 cos(ka)

Dans ce cas , la démo par récurrence sur k te sauvera peut être !!



LHASSANE

Malheureusement je suis pas arrivé à ce résultat :S

_Amine_ a écrit:

Oeil_de_Lynx a écrit:

Re-Salut _Amine_ !

Sinon , qu'est ce que tu as conjecturé ???
La puissance k-ième de M ne serait pas par hasard

cos(ka) 0 -sin(ka)
0 0 0
sin(ka) 0 cos(ka)

Dans ce cas , la démo par récurrence sur k te sauvera peut être !!



LHASSANE

Malheureusement je suis pas arrivé à ce résultat :S

BSR !!
Je suspecte que tu fais mal le PRODUIT de MATRICES .....
Revois le procédé pour calculer le produit de 2 matrices s'il te plait !!

LHASSANE

non non, t'inquiètes.
A partir de l'ordre 2, il devient difficile de simplifier les produits sous forme de cos(ka) ou sin(ka).
En tentant la récurrence sur cos(ka) et sin(ka) je trouve que cela est valable pour le rang k+1, faudra que j'organise mes calculs pour que ça donne le résultat cos(ka) et sin(ka) ^_^
Tu as raison !!!
Merci beaucoup chef !!!