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 Question n°2: Limites et Continuité

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abdelbaki.attioui
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Masculin Nombre de messages : 2552
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MessageSujet: Re: Question n°2: Limites et Continuité   Lun 30 Nov 2009, 11:53

Soit f: IR+ ---> IR+ croissante telle que :

lim_{x-->+00}(f(2x)-f(x))=0

1) Montrer que lim_{x-->+00} f(x) / ln(x)=0
2) A-t-on le même résultat si f continue?

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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Question n°2: Limites et Continuité   Ven 06 Nov 2009, 21:07

SOLUTION


1) Soit eps>0, il existe a>1 : x>a ==> f(2x)-f(x)<eps
Pour n entier>1 , 2^n>a on a : f(2^(n+1))-f(2^n)<eps.

Alors f(2^n)/n -->0 par Cesàro.

Soit x>1 et n=[ln(x)/ln(2)]
==> nln(2)<ln(x)<(n+1)ln(2) ==> 2^n<x<2^(n+1)
==> f(2^n)/(n+1)ln(2)<f(x)/ln(x)<f(2^(n+1))/nln(2)
==> lim_{x-->+00} f(x) / ln(x)=0

2) Si f continue ( non nécessairement croissante ) alors ...

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Dernière édition par abdelbaki.attioui le Lun 30 Nov 2009, 12:10, édité 1 fois
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