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 Question n°4: Développements limités

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abdelbaki.attioui
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Masculin Nombre de messages : 2552
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MessageSujet: Re: Question n°4: Développements limités   Ven 25 Déc 2009, 13:19

Pour tout l'application f_n est définie et de classe C infini sur ]-1,3[.
D'après le théorème de Taylor-Young elle admet un DL_2(0).

Comme f_n(0)=1 pour tout n
alors f_n(x)=1+a_n x+b_n x²+o(x²)
Par unicité du DL et la relation de récurrence entre les f_n permettent de trouver des relations des récurrences entre a_n et a_(n+1) , b_n et b_(n+1). Il est facile ensuite de calculer a_n et b_n en fonction de n.

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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Question n°4: Développements limités   Ven 06 Nov 2009, 21:17

On pose pour tout x€]-1, 3[ ,
f_0(x) =V(1 + x)

et pour tout n€IN,
f_{n+1}(x) =V(2 - f_n(x))

t -->V(t) est la fonction racine carrée
1) Prouver que les fonctions f_n sont bien définies.
2) Montrer que, pour tout entier naturel n, f_n admet un DL_2(0) que l’on explicitera.

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