1)mq pour tt a£S existe r>0 B(a ;r) ne contient que a de S ,si nn (donc pour tt r existe b_r<>a
Et b£B(a,r) int S
On a 2a£GLn et GLn est un ouvert donc il existe eps tq B(2a,eps)cGLn
Pour r<eps, b_r+a£ B(2a,eps)cGLn (absurde)
(je suis pas sur mais je pense que ce resulat peut donner que S est fermé car chaque element se trouve isole dans une ile=boule, je vais considerer que c’est juste en attendant autre reponse)**
2)mq S Borne , si nn il existe (an)n£S avec N(an)->00
soit s£S donc s+an=N(an)[s/N(an)+bn] nn inversible avec bn=an/N(an)
N(bn)=<1 donc bn a une valeur d'adherence soit b cette valeur
(b_f(n))->b
donc b£S car S fermé , b£GLn et GLn est un ouvert donc existe eps
B(b,eps)cGLn et puisque g(f(n))->b (g(n)=s/N(an)+bn)
on a appartir d'un n0 ; n>n0 N(b-g_fn)<eps
donc pour tt n>n0 g(f(n)) inversible donc s+an l'est (absurde)
3)maintenant supposons que S est infini (donc il existe une suite (an) d'elemnt 2 à 2 distinct
on a montré que S est un compact
donc (an) admet un pt d'adherence (a_f(n)->a£S) donc a+a_fn nn inversible
on a 2a inversible donc existe eps B(2a,eps)cGLn
donc existe n0 pour tt n>n0 N[a-a_f(n)]<eps => N(2a-(a+a_fn))<eps
donc a+a_fn£GLn absurde d'ou le resultat
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