diagonalisation.MT(n,K)

soit K un corps,et A,B £M_n(K) deux matrices diagonalisable sur K.
montrer que:[A,B]=0 <=> qlq x£K, A+xB est diagonalisable.

*vous pouvez étudiez les cas n=2 et n=3 pour k=C et K=Z/pZ (p premier)
et pour tt n et K=Z/pZ.pour le cas générale de C c'est aussi valable mais difficile.mais le plus difficile c'est pour tt K corps.
c'est un résultat que je respecte bcp.
bn chance.

mais non kalm,un résultat comme celui-ci demande des pages et des pages pour le montrer,je l'ai vu quelques part et c'était trés difficle comme démonstration,au moins pour mois,de toute façon et comme t'a dit,ça sera mieux si chaqun de nous démontre un cas,et petit à petit on aboutit au grnad résultat.

lol pour moi je resptect pas ce résultat! (plutot c'est quoi respecter un résultat)

pour le cas n=2,c'est pas difficile,puisque A et B commutent ce qui revient à dire que le crochet de lie est nul,alors ils sont diagonalisables dans une base commune de vecteurs propres,il en découle que que A+xB est diagonalisable .....

hhhh en générale c'est le sens le plus facile.essaye de démontrer l'autre sens en cas n=2.
pour le cas générale,la démonstration n'est pas dans des pages et des pages.mais l'idée nécessite de l'intelligence et de l'intelligence

je suis pas intelligent mais bon ça n'empéche pas que j'essaie avec:

comme j'ai dit,le résultat est vrai pour tout corp K et pour tout entier n>=1.

Etudions maintenant le réciproque:

je fais ici le cas où C=K et n=2.
il est claire qu'on peut résoudre le problème à une symétrie prés,donc on peut supposer que B=diag(a,b),et en retrnachant une matrice scalaire,il s'avére que le problème peut se ramener à B=diag(a,0),où encore B=diag(1,0).

l'astuce maintenant est de chosir un x convenable pour que A+xB soit scalaire,pour cela on prend un A aléatoire,puis on calcule le polynôme caractéristique de A+xB,et on cherche les valeurs de x pour les quelles il y a un seul racine du polynôme caractéritique.

il découle de ça que A+xB est diagonalisable avec un seul valeur propre,donc c'est une matrice scalaire,d'où on a bien A et B commutent. Done!