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 intriguant

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MessageSujet: intriguant   intriguant EmptyLun 09 Nov 2009, 15:05

trouver tous les polynomes a deux variables P(x,y) =Ax²+Bxy+Cy² de Z[x,y] ( c'est a dire a coefficients entiers) qui sont :
a) injectifs.
b) surjectifs.

ps : penser à la generalisation
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MessageSujet: Re: intriguant   intriguant EmptyMar 10 Nov 2009, 13:06

pas de propositions ?
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radouane_BNE
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radouane_BNE

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MessageSujet: Re: intriguant   intriguant EmptyMar 10 Nov 2009, 16:25

salut 0000 tu peux te patienter un peu,car ça n'a pas l'air d'être simple,donc nous faut un peu de temps!

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MessageSujet: Re: intriguant   intriguant EmptyMar 10 Nov 2009, 20:29

ok je serai patient mais j'en ai trouvé une solution

et j'aimerais voir d'autres solution......
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selfrespect
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MessageSujet: Re: intriguant   intriguant EmptyMar 10 Nov 2009, 20:52

0000 a écrit:
trouver tous les polynomes a deux variables P(x,y) =Ax²+Bxy+Cy² de Z[x,y] ( c'est a dire a coefficients entiers) qui sont :
a) injectifs.
b) surjectifs.

ps : penser à la generalisation
Les polynomes injectifs n'existent pas ( P(x,-y)=P(-x,y) )
Cherchons les surgectifs :
si on considere la forme quadratique Q(x,y) =Ax²+Bxy+Cy²
Q non degeneré => AC-B²/4 non nulle , et pour qu'elle puissque atteindre les valeur negatives et les positives aussi il faut que les valeurs propres soient de signes contraires ( comme ca on aura lorsqu'on ecrit Q sous forme canonique une qunatité qui peut parcourire R ( en tendant resspectivement x et vers +00 ..) donc il faut que AC-B²/4<0
sous la condition : 4AC<B².
Q(x,y)=a[X+sY]²-b[X+rY]² ( a , b >0 et a-b=A+C , ab=-AC+B²/4)
sous cette forme il est claire que Q est surgective .
alors la condition sur A,B,C vient du fait qu'il doit exister a et b tel que a ,-b verifient : t²-(A+C)t-AC+B²/4=O donc le discriminant doit etre >0
A²+C²+6AC-B²>O et 4AC<B² ,
On a qu'a chercher les entiers verifiants ces inegalitées sauf erreur de ma part ..
( j'ai pas fait les calculs comme il faut et il se peut qu'il y'ait des erreurs dedans .. )
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MessageSujet: Re: intriguant   intriguant EmptyMar 10 Nov 2009, 21:50

pour l injectivite c est fqux cqr on a bien (x,-y) est diferent de (-x,y)
POUR LA SURJECTIVITE, ON EST DANS Z pas dans R donc si n est un entier il faut ;ontrer l existence d un couple (x,y) de ZxZ [pas de RxR ] qui verifie Q(x,y) = n
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MessageSujet: Re: intriguant   intriguant EmptyMar 10 Nov 2009, 22:01

0000 a écrit:

POUR LA SURJECTIVITE, ON EST DANS Z pas dans R donc si n est un entier il faut ;ontrer l existence d un couple (x,y) de ZxZ [pas de RxR ] qui verifie Q(x,y) = n
Ceci n'est pas mentionnée en enoncé !
OK a refaire plus tard
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MessageSujet: Re: intriguant   intriguant EmptyMar 10 Nov 2009, 22:57

trouver tous les polynomes a deux variables P(x,y) =Ax²+Bxy+Cy² de Z[x,y] ( c'est a dire a coefficients entiers) qui sont :
a) injectifs de ZxZ vers Z
b) surjectifs de ZxZ vers Z
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MessageSujet: Re: intriguant   intriguant EmptyVen 13 Nov 2009, 12:36

pour faciliter la tache commencez par
trouver tous les polynomes a deux variables P(x,y) =Ax²+Bxy+Cy² de Z[x,y] ( c'est a dire a coefficients entiers) qui sont bijectif de Z² vers Z (injectifs et surjectifs en meme temps)
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