limite et continuité

salut tt le monde je vous propse un ptt exo assez difficilej'espere que vous avez la bonne reponse
soi f fonction defini sur [a.b] (a < b):
klksoi (x,y)£[a.b]² x#y ==> /f(x)-f(y)/< /x-y/
1*/ montrer que f est continu sur [a.b]
2*/ montrer que f admet point fixe
bonne chance

pour 1*/ juste prendre un ETA>0 tel que |x-y|<ETA,et puis la définition de la continuité découle de l'inégalité!

pour 2*/ c'est infaisable à ce niveau!

pr la 1ier question c'est evident mais pr la 2eme j'arrive pas a la demontrer SVP pourriez vous m'aider c'est un exercice de notre D.M

si tu considére g(x)=(f(x)-f(y))/(x-y)) c'est une fonction continue dans le compact [0,1],donc admet un sup=M<1,d'où on se raméne au cas qu'on sait,c'est de montre que s'il existe un k£[0,1[ tel que |f(x)-f(y)|<k|x-y|,alors f admet un point fixe,à toi de jouer donc!

saluut Mr Radouane svp est que on peut demontrer que f([a.b]) C [a.b]
si oui comment merci d'avance

et pourquoi cette question,la réponse est tout bétement" pas forcément"!

ok merci je vais faire un broullion esperant de trouver la bonne reponse merci pour les indices

yugayoub a écrit:

salut tt le monde je vous propse un ptt exo assez difficilej'espere que vous avez la bonne reponse
soi f fonction defini sur [a.b] (a < b):
klksoi (x,y)£[a.b]² x#y ==> /f(x)-f(y)/< /x-y/
1*/ montrer que f est continu sur [a.b]
2*/ montrer que f admet point fixe
bonne chance

BSR yugayoub !!
BSR à Toutes et Tous !!

Ecoutez ! Je crois qu'il manque quelquechose de CRUCIAL !!
Soit f la fonction définie sur [a;b] à valeurs réelles définie ainsi
f(x)=(1/2).x + c pourvu que 2c ne soit pas dans [a;b]
On a |f(x)-f(y)|=(1/2)|x-y| <|x-y| pour tout x, y dans [a;b] avec x<>y
Mais f n'admet pas de point fixe sur [a;b] !!

En fait , je crois qu'il faut rajouter f applique [a;b] sur lui-même !!

OU ALORS , changer la Question 2) ainsi :
Montrer que f admet AU PLUS un point fixe dans [a;b]

LHASSANE

enfait c'est qui m'a vraiment perturber,à chaque je me trouve obligé d'ajouter la condition que f([a,b]) est inclus dans [a,b],sinon ça va plus marcher,merci pour la remarque monsieur Lhassane,maintenant je suis soulagé un peu!