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 Olympiodiose

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majdouline
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majdouline


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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Olympiodiose - Page 5 EmptySam 28 Nov 2009, 21:32

majdouline a écrit:
solution du problème (sauf erreur):
on a 2x+3y=xy
on peut remarquer que le cas x<0 et y<0 est impossible(puisque xy sera positif)
donc on a deux cas : x et y sont positifs ou bien l'un est négatif et l'autre est positif)
1)-x et y sont positifs((x,y)£IN²)
si x>y alors 5x>2x+3y=xy alors y<5 d'où y=4 ou y=3 y=2 ou y=1 ou y=0
seuls y=0 et y=3 et y=4 qui vérifient équation d'où ces trois couples de solutions :(0,0) ; (9,3) (6,4)
si x<y alors xy=2x+3y<5y d'où x<5 alors x=4 ou x=3 ou x=2 ou x=1 ou x=0
seul x=4 qui verifie l'equation d'où le couple de solution (4,8 )
-------------------------------------------------------------------------------------
2)-si l'un est négatif et l'autre est positif:
pour x>0 et y<0 on a donc 2x+3y>3y alors xy>3y ---->x<3 d'où x=2 ou x=1
d'où ces deux couples de solutions (1;-1) et (2,-4)
-------------------------------------------------------------
pour x<0 et y>0 2x+3y>2x alors xy>2x d'où y<2 alors y=1
d'où le couple de solution (-3,1)
-----------------------------------------------------------------------------
en collectant nos resultats on aura :
S={(0,0) ; (9,3) (6,4);(4,8 );(1;-1) ; (2,-4);(-3,1)}
just-abdess a écrit:
jolie majdouine ,il te manque une (5,5)

poste un exo
bonne remarque j'ai oublié le cas où x=y...mais c'est édité maintenant...
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neohs
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Olympiodiose - Page 5 EmptySam 28 Nov 2009, 21:32

non faut que x aussi y appartienne
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marouan777
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Olympiodiose - Page 5 EmptySam 28 Nov 2009, 21:37

juste une methode plus simple:
x=(-3y)/(2-y)=-3-6/(2-y). psk x ppa a IZ donc 2-y est deviseur de 6.
2-y={1;2;3;6;-1;-2;-3;-6}.
y={1;0;-1;-4;3;4;5;8}.
et c facil de trouver les valeur de x.
P.S majdoulin a oublier le couple 5;5
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samix
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Olympiodiose - Page 5 EmptySam 28 Nov 2009, 21:41

Une autre solution:

l'équation équivaut : x=(-3y)/(2-y) puisque x £ IZ alors 3y/(y-2) £ IZ
on a : 3y/(y-2)=3-6/(y-2) d'où 6/(y-2)£ IZ
et les diviseur de 6 sont : (-1,1,6,-6,3,-3,2,-2)
alors : y-2=6 --> y=8 --> x=4
y-2=-6--> y=-4 --> x=2
y-2=1 --> y=3 --> x=9
y-2=-1 --> y=1 --> x=-3
y-2=2 --> y=4 --> x=6
y-2=-2 --> y=0 --> x=0
y-2=3 --> y=5 --> x=5
y-2=-3--> y=-1 --> x=1
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samix
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Olympiodiose - Page 5 EmptySam 28 Nov 2009, 21:44

Majdouline poste ton exo
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majdouline
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Olympiodiose - Page 5 EmptySam 28 Nov 2009, 23:27

problème proposé:
trouver toutes les applications de IR-{0,1} vers IR qui vérifient la relation suivante:
Olympiodiose - Page 5 1259450735774
dsl si c facile....je n'ai pas trouvé assez d'exos à poster...
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Olympiodiose - Page 5 EmptyDim 29 Nov 2009, 09:05

Voila ma réponse (sauf erreur)
Pour 1/(1-x)
Olympiodiose - Page 5 Gif
Olympiodiose - Page 5 Gif
et enfin pour (x-1)/x
Olympiodiose - Page 5 Gif
(je suis pa trés sur de ma réponse)
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majdouline
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Olympiodiose - Page 5 EmptyDim 29 Nov 2009, 10:30

nn dsl c'est faux.....tu as fait pour x=1/(1-x)....et tu as remplacé (x-1)/x par le même 1/(1-x)...c pas valable...cherche encore!!
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Olympiodiose - Page 5 EmptyDim 29 Nov 2009, 10:33

J ai pris x=1/(x-1) et quand j'ai remplacé dans (x-1)/x j ai trouvé 1/(x-1). Ou est l'erreur?
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majdouline
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Olympiodiose - Page 5 EmptyDim 29 Nov 2009, 10:37

tu as pris x=1/(X-1) et tu as trouvé que (x-1)/x=1/(X-1) alors pour tout x de IR-{0,1} x=(x-1)/x ce qui est faux!!!!Crois moi ce n'est pas la bonne méthode comme ce n'est pas le bon résultat!!! Wink
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Olympiodiose - Page 5 EmptyDim 29 Nov 2009, 12:03

Ma seconde réponse(sauf erreur bien sur)
Pour x=(x-1)/x
Olympiodiose - Page 5 Gif(1)
Pour x=-1/(x-1)
Olympiodiose - Page 5 Gif
Olympiodiose - Page 5 Gif
On remplace ds (1) et on trouve:
Olympiodiose - Page 5 Gif
et on déduit que:
Olympiodiose - Page 5 Gif
(j'espere que c'est la bonne réponse)
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Olympiodiose - Page 5 EmptyDim 29 Nov 2009, 12:12

En attente de confirmation voila mon problème:
Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3:
Olympiodiose - Page 5 Gif.latex?\frac{1}{3^3}&plus;\frac{1}{4^3}&plus;....
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Thalès
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Olympiodiose - Page 5 EmptyDim 29 Nov 2009, 16:29

deleted


Dernière édition par Thalès le Dim 29 Nov 2009, 16:58, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Olympiodiose - Page 5 EmptyDim 29 Nov 2009, 16:48

.


Dernière édition par samix le Dim 29 Nov 2009, 17:24, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Olympiodiose - Page 5 EmptyDim 29 Nov 2009, 16:54

Thalès a écrit:
Bon, j'ai pensé à un raisonnement par absurde : (sauf erreur biensur)
On suppose que : 1/3^3+1/4^3+...+1/n^3 >=1/12
Donc :
(1/3^3+1/4^3+...+1/n^3)(3^3+4^3+...+n^3)>1/12(3^3+4^3+...+n^3)
>1/12(n(n+1)/2)²-9/12>25/12 (pour tout n>=3) (*)
Donc la valeur minimale du produit est 25/12 pour tout n>=3
On a pour tout n>=3 :
(1/3^3+1/4^3+...+1/n^3)(3^3+4^3+...+n^3)>(n-2)² (d'après C.S)
Donc (n-2)²>=25/12 pour tout n>=3 (ce qui n'est pas valable pour n=3 et n=4)
Donc contradiction, d'où le résultat

(*) j'ai utilisé le fait que : 1+2^3+3^3+...+n^3 = (n(n+1)/2)²
la négation de pour tout n£IN:p(n) est il existe n de IN :7p(n)!!!!


Dernière édition par majdouline le Dim 29 Nov 2009, 16:57, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Olympiodiose - Page 5 EmptyDim 29 Nov 2009, 16:57

Oui pardon j'ai pas fait attention...
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Olympiodiose - Page 5 EmptyDim 29 Nov 2009, 17:28

1/3^3+1/4^3+...+1/n^3=<1/12
<=> 1+1/2^3+1/3^3+1/4^3+...+1/n^3=<29/24
Or : 1+1/2^3+1/3^3+...+1/n^3<1+1/2^3+1/3^3+... = ζ(3) (constante d'apéry)
Et ζ(3)<29/24
D'où le résultat.
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Olympiodiose - Page 5 EmptyDim 29 Nov 2009, 17:42

oui Thalés...je viens juste de voir cette constante d'Apery sur Wikipédia ...mais je ne trouve pas sa démonstration!!!en tt cas poste un exo!!
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Olympiodiose - Page 5 EmptyDim 29 Nov 2009, 17:47

Personnellement je ne suis pas satisfait de cette méthode en utilisant le fait que ζ(3)<29/24 juste par calcul, c'est pas vraiment une démonstration...
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Olympiodiose - Page 5 EmptyDim 29 Nov 2009, 17:49

voici une solution sauf erreur
l'inégalité est equivalent à :

Olympiodiose - Page 5 Gif.latex?\frac{1}{3^{3}}&plus;\frac{1}{4^{3}}&plus;...&plus;\frac{1}{n^{3}}\leq&space;\frac{1}{12(n-2)}&plus;...

n-2 fois

donc on doit montrer que pour tous n est superieur ou egal à 3

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ce qui est vraix donc on sommant on trouve l'inégalité


PS: dsl à la place de > = on a >
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Olympiodiose - Page 5 EmptyDim 29 Nov 2009, 17:55

mais est ce ζ(3)<1/12??
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samix
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Olympiodiose - Page 5 EmptyDim 29 Nov 2009, 18:04

Thalès poste un exo
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Olympiodiose - Page 5 EmptyDim 29 Nov 2009, 18:47

bon slt tou le monde voila un exo d'olympiade
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Olympiodiose - Page 5 EmptyDim 29 Nov 2009, 18:48

demantre ke si a<b en a^3-3a-2<b^3-3b+2
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Olympiodiose - Page 5 EmptyDim 29 Nov 2009, 19:05

just-abdess a écrit:
voici une solution sauf erreur
l'inégalité est equivalent à :

Olympiodiose - Page 5 Gif.latex?\frac{1}{3^{3}}&plus;\frac{1}{4^{3}}&plus;...&plus;\frac{1}{n^{3}}\leq&space;\frac{1}{12(n-2)}&plus;...

n-2 fois

donc on doit montrer que pour tous n est superieur ou egal à 3

Olympiodiose - Page 5 Gif

ce qui est vraix donc on sommant on trouve l'inégalité


PS: dsl à la place de > = on a >
Soit n€N supérieur ou égal à 3
Tu dois démontrer que pour tout n>=k>=3 on a :
1/k^3<1/12(n-2)
Tout ce que tu peux dire c'est ça : 1/n^3<1/12(n-2) (car k=<n)


Dernière édition par Thalès le Dim 29 Nov 2009, 19:11, édité 1 fois
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