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 Olympiodiose

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Sylphaen
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Jeu 24 Déc 2009, 18:30

Petite faute de tape Majdouline ^^
C'est 17/6 + 1/6 pas 3/2+1/6 .

Pour l'exo on a :

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Sylphaen
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Dim 27 Déc 2009, 13:24

Salut tous le monde ^^

Je poste cet exo pour faire bouger le topic un petit peut =P
C'est un peu facile mais bon ^^

Déterminez toutes les fonctions de l'ensemble des nombres réels dans
lui-même
telles que
f(x - f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) - 1.


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stranger
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Lun 28 Déc 2009, 10:14

s=\frac{1*3}{3*5}+\frac{2*4}{5*7}+.......+\frac{(n-1)*(n+1)}{(2n-1)*(2n+1)}+......+\frac{1004*1006}{2009*2011}
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einstein20
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Lun 28 Déc 2009, 22:23

slt tou le monde moi aussi j'ai passé le 2em test d'olymp mai le 4em exo je pense ke la solution de SYLPHAEN n'est pa just kar (apd) est strictement inferieur a 108
je peu vou dezmentre ca si vous voulez
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einstein20
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Lun 28 Déc 2009, 22:23

ds dementrer
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Sylphaen
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Lun 28 Déc 2009, 22:50

C'est la solution officielle -_-''
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Mer 30 Déc 2009, 18:55

Sylphaen a écrit:

Déterminez toutes les fonctions de l'ensemble des nombres réels dans
lui-même
telles que
f(x - f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) - 1.
Il serait temps de proposer ta solution..
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Sylphaen
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Mer 30 Déc 2009, 19:27

On pose :
f(y)=x
L'équation devient :

f(0)=2f(x)+x²-1

On pose x=0

f(0)=2f(0)-1 d'où f(0)=1

Puis on trouve :
f(x)=1-x²/2

Sauf erreur ..
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Mer 30 Déc 2009, 19:51

Le fait de poser puis suppose que 0 possède au moins un antécédent par . Ce qui nécessite d'être prouver..
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Sylphaen
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Mer 30 Déc 2009, 20:22

Oui désolé j'avais pas remarquer >.<
Je vais rectifier ..
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einstein20
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Ven 08 Jan 2010, 17:59

bjr les amis j'aime b1 savoir wech redo 3likom les resulta d'olymp
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issam erriahi
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Ven 08 Jan 2010, 19:26

salut einstein20 mazal marado resulta d'olympiade wa9ila hta l dora tania
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einstein20
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Ven 08 Jan 2010, 20:09

ah ok mercii kayt3etlo bezaf hado
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Ven 08 Jan 2010, 20:43

oui khoya einstein kayt3atlo bache yalah ydzwo 3 dial marahil fl 3am kaml
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nmo
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Mar 18 Mai 2010, 10:41

Sylphaen a écrit:
Salut tous le monde ^^
Je poste cet exo pour faire bouger le topic un petit peut =P
C'est un peu facile mais bon ^^
Déterminez toutes les fonctions de l'ensemble des nombres réels dans
lui-même
telles que
f(x - f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) - 1.
Voici ce que j'ai fait:
On souhaite trouver tous les applications de vers .
Et qui réalisent .
On pose .
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Réciproquement, soit f la fonction définie par .
On a .
Donc .
Donc .==>(1)
Et on a .
Donc .==>(2)
De 1 et 2, on déduit que .
Donc la fonction est la seule à satisfaire les conditions.
P.S: J'attends vos remarques.
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master
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Mar 18 Mai 2010, 11:36

oui nmo , ta réponse est vrais ! meme le resultat , voila autre méthode :
posons que f(0)=n
x=y=0 ==> f(-n)=f(n)+n-1 (*) donc si n=0 ==> f(0)=f(0)-1 ==> absurde donc n#0
x=f(y) ==> n= 2f(x)+n²-1 (**)
(*) et (**) ==> f(x)= n+1-x²/2 (1)

y=0 ==> f(x-n)=f(n)+xn+n-1 ==> f(x-n)-f(x)=xn+n-1
donc tt réells s'écrit comme différence de 2 éléments dans Df
alors x=a-b
f(x)=f(a-b) =n - 1/2 x²
ce qui donne avec la relation 1 que n=1
alors f(x)=1 - 1/2x²
x |==> 1- 1/2x²
réciroque est facile !
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nmo
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Mar 18 Mai 2010, 20:11

Un exercice pour vous:
Dans un triangle, on connait les lonqueurs des trois médianes:
, , et .
Déterminez les longueurs a, b, et c des trois côtés BC, CA, et AB.
Bonne chance.
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Jeu 20 Mai 2010, 11:33

les côtés du triangle sont les 4/3 des médianes du triangle formé avec les médianes AA', BB' et CC'.
Sinon La formule de la médiane sous la forme m²_A = b²/2 + c²/2 - a²/4 permet d'écrire 3 équations d'inconnues a², b² et c² : c'est un système.

Tu en déduiras a, b et c.

Au plaisir Smile
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nmo
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Jeu 20 Mai 2010, 15:21

M.Marjani a écrit:
les côtés du triangle sont les 4/3 des médianes du triangle formé avec les médianes AA', BB' et CC'.
Sinon La formule de la médiane sous la forme m²_A = b²/2 + c²/2 - a²/4 permet d'écrire 3 équations d'inconnues a², b² et c² : c'est un système.
Tu en déduiras a, b et c.
Au plaisir Smile
Bien, ce qui compte est la réponse.
J'attend une solution approfondie.
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nmo
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Jeu 10 Juin 2010, 10:43

nmo a écrit:
Un exercice pour vous:
Dans un triangle, on connait les lonqueurs des trois médianes:
, , et .
Déterminez les longueurs a, b, et c des trois côtés BC, CA, et AB.
Bonne chance.
La réponse est ainsi:
Selon le théorème de la médiane,
On écrit AB²+AC²=2AA'²+(1/2)BC².
Donc c²+b²=2AA'²+(1/2)a².
Et aussi a²+b²=2CC'²+(1/2)c².
Et aussi a²+c²=2BB'²+(1/2)b².
Pour trouver a, b, et c, on doit résoudre le système suivant .
Soit .
Donc .
Donc .
Donc .
En sommant les trois lignes, on obtient .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
On a d'après le système .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
On a par équivalence, le système suivant .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Les distances sont forcément positifs, alors a=5, b=6, c=7.
Sauf erreur.
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nmo
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Jeu 10 Juin 2010, 10:47

Je présent un nouvel exercice:
Soit ABC un triangle dont les côtés sont a, b, et c.
p son demi-périmètre, r le rayon de son cercle inscrit, R celui de son cercle surconscrit.
Montrez que .
Bonne chance.
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Jeu 10 Juin 2010, 15:28

- Première partie :
.
Puisque , l'inégalité est aussi équivalente à .
En utilisant alors la formule de Héron, l'inégalité devient équivalente à .
a, b et c étant les longueurs de côtés d'un triangle, il est possible d'utiliser la substitution de Ravi : .
L'inégalité change alors de forme, et devient : , ce qui n'est qu'une simple application de l'IAG.

- Seconde partie :
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nmo
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Jeu 10 Juin 2010, 15:50

Dijkschneier a écrit:
- Première partie :
.
Puisque , l'inégalité est aussi équivalente à .
En utilisant alors la formule de Héron, l'inégalité devient équivalente à .
a, b et c étant les longueurs de côtés d'un triangle, il est possible d'utiliser la substitution de Ravi : .
L'inégalité change alors de forme, et devient : , ce qui n'est qu'une simple application de l'IAG.
- Seconde partie :
Bien joué. Comme j'ai fait, vitement.
La deuxième a pris beaucoup de mon temps.
Un peu de reflexion, et tu trouves le résultat.
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Sam 12 Juin 2010, 22:30

nmo a écrit:
Dijkschneier a écrit:
- Première partie :
.
Puisque , l'inégalité est aussi équivalente à .
En utilisant alors la formule de Héron, l'inégalité devient équivalente à .
a, b et c étant les longueurs de côtés d'un triangle, il est possible d'utiliser la substitution de Ravi : .
L'inégalité change alors de forme, et devient : , ce qui n'est qu'une simple application de l'IAG.
- Seconde partie :
Bien joué. Comme j'ai fait, vitement.
La deuxième a pris beaucoup de mon temps.
Un peu de reflexion, et tu trouves le résultat.

Je dis bien joué à Dijksheiner, et je vous présente nmo la solution du deuxiéme partie:

OA+OB>=AB , OA+OC>=AC , OB+OC>=BC
Posant: OA=OB=OC=R => 6R>=a+b+c <=> R>=(a+b+c)/6 (1)
Revenons à l'énoncé, on veut montrer que: P/3V3=<R/2
D'une autre maniére on veut montrer que: R>=2P/3V3 (R>=(a+b+c)/3V3)
Puisque: (a+b+c)/6>=(a+b+c)/3V3
Cela veux dire bien donc que: P/3V3=<R/2.

En déssinant la figure, l'EX devenait façile, je l'ai fais en 5 min environt.
Merci.


Dernière édition par M.Marjani le Dim 13 Juin 2010, 16:25, édité 1 fois
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Dim 13 Juin 2010, 14:31

M.Marjani a écrit:

OA+OB>=AB , OA+OC>=AC , OB+OC>=BC
Posant: OA=OB=OC=R => 6R>=a+b+c <=> R>=(a+b+c)²/6 (1)
Il n'y a pas ici d'équivalence, mon cher.
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MessageSujet: Re: Olympiodiose   Aujourd'hui à 22:00

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