une equation fonctionnelle pour passer le temps

trouver tous les fonctions de R vers R continues en 0 et vérifient :

f(x + 2f(y)) = f(x) + y + f(y)

pour tous les réels x et y.

salut

comme je vois tu as interessé aux e.f alors c'est la meme chose

pour ton e.f c'est tres facile:

données importantes :

P(x;y) : f(x + 2f(y)) = f(x) + f(y) + y

P(0;0) : f(2a) = 2a / f(0)= a

P(-2a;0) : f(-2a) = 0

P(x;-2a) : f(x) = f(x) - 2a ==> a=0

résolution particulière:

P(0;x) : f(2f(x)) = f(x) + x (*)

posons: g(x) = 2f(x)

alors (*) permettre d'écrire:

1/2 g(g(x)) = 1/2 g(x) +x

c qui veut dire aussi g(g(x)) = g(x) + 2x (E)

posons u_{n+1} = g(u_n)

alors on a:

u_{n+2} = u_{n+1} + 2u_n avec u_1 = g(x) et u_0 = x

=> u_n = A2^n + B(-1)^n

si A=0 et B#0 alors f(x)=-x/2 qui est une solution pr (*)

d'une autre si A#0 et B=0 alors f(x)=x ce qui est aussi une solution pr (*)
....

l'autre cas à vous de verifier
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c'est totalemnt faux

car on connait pas le u_0 et tu la posé x c'est ca qu'on doit trouver
en plus tous les fonction cx avec c constante verifient l'equation

nn c doit etre calculé par l'equation iniale de toute facon u_0 = x c'est ca qu'on doit trouver

et je ne suis pas intéréssé qu'aux ef
j'ai d'autres problemes à poster

nn en fait t'as juste mais le probleme comment determiner tes constantes A et B ....

en effet A et B dependent directement de u_1 = g(x) et u_0 = x
la connaisance de l'un equivaut à connaitre l'autre

en plus tu n'as meme pas resolu l'exo et tu affirme qu'il est facile

slt!!
en effet on a pour x=y ==> f(2f(x)+x)=2f(x)+x

alors si on a procédé comme a fait Mr.wgshal on trouve:

f(x)=x-(3/2)*C_x. / C£IR.c-a-dire C est un parametre qui change en fonction de x.
posons h(x)=2f(x)+x.
de ca on a:

h(x)=3(x-C_x)==>h est bijective,c-à-dire f(IR)=IR.

donc puisque on a: f(h(x))=h(x) alors f(x)=x pour tt x£IR.

mais qui t'as dit que h est bijective , on connait rien sur ton C_x

C_x est un parametre£IR ..... peut importe.

tu as ecrit h(x)=3(x-C_x) comment tu justifie la bijectivité de h si on connait pas le comportement de C_x

si tu es attaché à ce C_x tu peut le définir meme d'apres 1/2g(g(x))=1/2g(x)+x mais c un peu long!,c la meme procedure que Wagshall sauf que lui a pris A et B des constantes..

regarde tu as affirmé que h est bijective prouve le

salut 0000

ma resolution est vrai et j'ai beaucoup des choses à donner et ça reste facile

la determination des A;B c'est la partie qui reste completer le pour comprendre ma methode (il ne faut juger directement qu'elle est fausse sans que tu l'as pas comprendre !)

je donne une deuxième méthode

posons P(x;y) : f(x + 2f(y)) = f(x) + f(y) + y

il est facile de démontrer que f(0)=0

supposons qu'il existe a de R tq: f(a)=0

alors : P(x;a) : f(x) = f(x) + a ==> a=0 alors a est unique solution de f(x)=0 et égale à 0

donc P(x;x) : f(2f(x) + x) = 2f(x)+x

donne que soit 2f(x) + x = 0 f(x) = -x/2

ou bien si f(2f(x) + x) = f(y) = y ===> f(x) =x

voir que l'ensemble A:={x£ R / f(x) = x} est infini vous pouvez montrer ça (voir que si b£A alors rb£A avec r£Q et ....)

ce que donne que les solutions sont:

f(x) =-x/2

f(x) = x
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qui t'as dit que l'ensemble A:{f(x) = x / x£IR} est infini en plus
et si c'etait infini qui t'as dit que A=R

0000 a écrit:

qui t'as dit que l'ensemble A:{f(x) = x / x£IR} est infini en plus
et si c'etait infini qui t'as dit que A=R

lol j'ai dis pas que A =R !!!

en plus j'ai fais une faute de definir A voir maintenat c rectifié

A={x £ R / f(x) = x }



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mais tu dis que f(x) = x sur tout R donc A=R

0000 a écrit:

mais tu dis que f(x) = x sur tout R donc A=R

alors ça c'est pour la deduction tu vois pas que j'ai donné des indices pour montrer ça
je commence de montrer que:

si s£A : ns £A avec n £N et voir que f(2f(y)) = f(-2f(y)) (le cas ou P(0;y) et P(-2f(y);y) )

alors on deduit que si s£ A ks£A k £ Z

pour Q c'est facile (il suffit de prendre f(q*p/q) ....)

alors à vous de jouer
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mais ca ne donne pas A=R
excuse moi de dire ca mais une demonstration ambigu est generalement fausse, donc il faut etre precis.
donne moi une preuve bien soignée et je serai ravi de la lire soigneseument

je vois pas ou est la difficulté wa rah kolchi bayn a sa7bi l'ensemble il s'agit de l'ensemble des points fixes de f est on peut trouver que les points fixes sont infini
si tu veux la demo je te le donner pas maintenant car je travail par autres choses meme que je t'ai donné les indices pr demontrer.

si tu vois A est un ensemble construit !!
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certes A est infini mais ca nous ramene a rien car le but est de trouver f pour tout R
tu as trouvé que f(x) = x sur ton A avec la seule chose qu'on connaise sur elle qu'elle est infini sinon il te reste R moins A

0000 a écrit:

certes A est infini mais ca nous ramene a rien car le but est de trouver f pour tout R
tu as trouvé que f(x) = x sur ton A avec la seule chose qu'on connaise sur elle qu'elle est infini sinon il te reste R moins A

non A est clairement infini

si tu veux une autre methode signale moi je la posterai daba

ghir b9a liya 3la khatrek
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j'en ai la solution de toute facon on peut pas la trouver sans continuité de f