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Oeil_de_Lynx
Lahcen BOUNADER
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badr_210
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MessageSujet: Colle (MPSI)   Colle (MPSI) EmptyVen 13 Nov 2009, 17:28

Salut à tous

J'ai eu aujourd'hui cet exercice en colle .

Déterminer toutes les fonctions f : R ---> R dérivables

telles que : f'(x).f'(f(x))=1 , f'(0) >0 et f(0)=0
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beautiful mind
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MessageSujet: Re: Colle (MPSI)   Colle (MPSI) EmptyVen 13 Nov 2009, 18:30

f(x)=x.
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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: Colle (MPSI)   Colle (MPSI) EmptyVen 13 Nov 2009, 18:42

hmm mais c'est trivial,comment! je te laisse tout d'abord essayer peut être t'as une démonstration,sinon je poste la mienne!
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beautiful mind
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MessageSujet: Re: Colle (MPSI)   Colle (MPSI) EmptyVen 13 Nov 2009, 18:52

Non non vas y! pas la peine puisque c'est trivial!!
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Lahcen BOUNADER
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MessageSujet: Re: Colle (MPSI)   Colle (MPSI) EmptyVen 13 Nov 2009, 19:45

Salam
on a : f'(x)f'(f(x))=1 équivaut à : f(f(x))=x+c
puisque f(0)=0 il vient : c=0 donc : f(f(x))=x
monrrons que f realise une bijection de R vers R:
on a lim f(f(x))=+00 qd x tend vers =+00 donc f n'est pas majorée
de meme lim f(f(x))=-00 donc f n'est pas minorée alors : f(R)=R
càd f est surjective.
soient x et y de R tq f(x)=f(y) alors f(f(x))=f(f(y)) implique x=y
donc f est injective.
d'ou la bijectivité de f cad f admet une fontion reciproque
ce qui enchaine à pour tout x de R : f(x)=f^(-1)(x)
Finalement : f(x)=x pour tout x £R
on aimerais bien voir d'autre preuve ( radouane bne et beautiful mind veuillez postez vos demo)
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Oeil_de_Lynx
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MessageSujet: Re: Colle (MPSI)   Colle (MPSI) EmptyVen 13 Nov 2009, 21:36

Lahcen BOUNADER a écrit:
Salam
on a : f'(x)f'(f(x))=1 équivaut à : f(f(x))=x+c
puisque f(0)=0 il vient : c=0 donc : f(f(x))=x

montrons que f realise une bijection de R vers R:
on a lim f(f(x))=+00 qd x tend vers =+00 donc f n'est pas majorée
de meme lim f(f(x))=-00 donc f n'est pas minorée alors : f(R)=R
càd f est surjective.


soient x et y de R tq f(x)=f(y) alors f(f(x))=f(f(y)) implique x=y
donc f est injective.
d'ou la bijectivité de f cad f admet une fontion reciproque
ce qui enchaine à pour tout x de R : f(x)=f^(-1)(x)
Finalement : f(x)=x pour tout x £R .....

BSR Lahcen !!

Merci pour ta démo !! Tu voudrais bien me donner des précisions sur ce qui est en BLEU ...
D'autre part ! Tu n'as pas utilisé l'hypothèse f'(0)>0 ??!!!

Celà prouve en tout cas que cet exo est loin d'être une trivialité et je dis celà sans arrière pensée par rapport aux déclarations de beautiful mind & Radouane !!!

LHASSANE
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Perelman
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MessageSujet: Re: Colle (MPSI)   Colle (MPSI) EmptyVen 13 Nov 2009, 22:07

Lahcen BOUNADER a écrit:
Salam
on a : f'(x)f'(f(x))=1 équivaut à : f(f(x))=x+c
puisque f(0)=0 il vient : c=0 donc : f(f(x))=x
monrrons que f realise une bijection de R vers R:
on a lim f(f(x))=+00 qd x tend vers =+00 donc f n'est pas majorée
de meme lim f(f(x))=-00 donc f n'est pas minorée alors : f(R)=R
càd f est surjective.
soient x et y de R tq f(x)=f(y) alors f(f(x))=f(f(y)) implique x=y
donc f est injective.


d'ou la bijectivité de f cad f admet une fontion reciproque
ce qui enchaine à pour tout x de R : f(x)=f^(-1)(x)
Finalement : f(x)=x pour tout x £R
on aimerais bien voir d'autre preuve ( radouane bne et beautiful mind veuillez postez vos demo)

une intervention si c possible :

on a f(f(x))=x ca entraine que f est surjective et injective en meme temps puisque g(x)=x est une bijection.....sans passer par ces étapes.
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MessageSujet: Re: Colle (MPSI)   Colle (MPSI) EmptyVen 13 Nov 2009, 22:16

Oeil_de_Lynx a écrit:
Lahcen BOUNADER a écrit:
Salam
on a : f'(x)f'(f(x))=1 équivaut à : f(f(x))=x+c
puisque f(0)=0 il vient : c=0 donc : f(f(x))=x

montrons que f realise une bijection de R vers R:
on a lim f(f(x))=+00 qd x tend vers =+00 donc f n'est pas majorée
de meme lim f(f(x))=-00 donc f n'est pas minorée alors : f(R)=R
càd f est surjective.


soient x et y de R tq f(x)=f(y) alors f(f(x))=f(f(y)) implique x=y
donc f est injective.
d'ou la bijectivité de f cad f admet une fontion reciproque
ce qui enchaine à pour tout x de R : f(x)=f^(-1)(x)
Finalement : f(x)=x pour tout x £R .....

BSR Lahcen !!

Merci pour ta démo !! Tu voudrais bien me donner des précisions sur ce qui est en BLEU ...
D'autre part ! Tu n'as pas utilisé l'hypothèse f'(0)>0 ??!!!

Celà prouve en tout cas que cet exo est loin d'être une trivialité et je dis celà sans arrière pensée par rapport aux déclarations de beautiful mind & Radouane !!!

LHASSANE

je vois pas pourquoi ils ont donné f'(0)>0,cette hypothèse va nous donner f'(0)=1,mais il n'a pas d'utilité je pense.
on a f(f(x))=x==> f est une bijection et le reste comme a fait Mr.Lahcen.
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MessageSujet: Re: Colle (MPSI)   Colle (MPSI) EmptyVen 13 Nov 2009, 22:44

BSR Hamza !!

Bien sûr !!
fof=Id sur IR implique f bijective sur IR
Celà me convient tout à fait !! MERCI BEAUCOUP.
Lahcen m'a dérouté avec ses limites en +oo et -oo .....

LHASSANE


Dernière édition par Oeil_de_Lynx le Ven 13 Nov 2009, 22:55, édité 1 fois
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Perelman
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MessageSujet: Re: Colle (MPSI)   Colle (MPSI) EmptyVen 13 Nov 2009, 22:52

Merci à vous aussi Smile

alors la solution est faite sans utiliser f'(0)>0?
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MessageSujet: Re: Colle (MPSI)   Colle (MPSI) EmptySam 14 Nov 2009, 00:46

je vais changer un peu l'exo et proposer un autre :
trouver tous les fonctions continues f de R+ vers R+ qui verifient :

f(0)=0
et f'(x)=1/f(f(x)) pour tout x>0
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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: Colle (MPSI)   Colle (MPSI) EmptySam 14 Nov 2009, 11:51

beautiful mind a écrit:
Non non vas y! pas la peine puisque c'est trivial!!

je sais pas ce que tu veux dire par ça,j'ai dit juste trivial car la plupart des solutions des eq. fonc. sont f=x,et j'ai pas voulu autre chose que ça!
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elhor_abdelali
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MessageSujet: Re: Colle (MPSI)   Colle (MPSI) EmptySam 14 Nov 2009, 21:41

Je crois que la condition f ' (0) > 0 est nécessaire pour conclure

on peut en effet montrer que la seule involution strictement croissante de IR est l'identité

alors qu'il y'a une infinité d'involutions strictement décroissantes comme par exemple les fonctions : x ---> a - x avec a réel quelconque farao sauf erreur bien entendu
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Oeil_de_Lynx
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MessageSujet: Re: Colle (MPSI)   Colle (MPSI) EmptySam 14 Nov 2009, 22:18

BSR Mr Elhor !

Merci beaucoup pour ces éclaircissements . En effet la condition f'(0)>0 intervient de manière cruciale pour trancher ... Celà m'a permis d'y voir plus clair et sûrement que Lahcen remettra de l'ordre dans sa Démonstration qu'il a eu le mérite de proposer .

Portez-Vous Bien !!!

LHASSANE
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evariste
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MessageSujet: Re: Colle (MPSI)   Colle (MPSI) EmptyDim 15 Nov 2009, 00:30

Bonsoir,

Effectivement il y a un passage ambigue dans la preuve de Lahcen, à savoir quand il conclut de f(x)=f^{-1}(x) que f(x)=x

Une façon de terminer l'exercice serait de faire appel au théorème de Darboux. En effet, comme f'(x)f'(f(x))=1 alors f' ne s'annule pas et garde donc un signe constant puisque f' verifie le TVI d'après Darboux. Comme f'(0)>0, alors f est strictement croissante. Si il existe un x tel que f(x)<x, alors f(f(x))<f(x), càd x<f(x) ce qui est absurde, de même si il existe un x tel que x<f(x), alors f(x)<f(f(x)) ce qui est absurde également, donc pour tout x, f(x)=x.
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