1) E est au plus dénombrable <==> Il existe une partie M de N (qui peut être N lui-même) tq E est équipotent à M.
Il y a donc une injection de E dans M, donc dans N.
Inversement, Supposons l'existence d'une injection de E dans N.
Si E est fini, basta...
Sinon, Quand E est infini...
On considère l'application suivante, qui au plus petit élément de l'ensemble d'arrivée (partie de N donc) associe 0, au 2eme plus petit 1, et ainsi de suite... Par injectivité, celle-ci est bien définie...
Tu peux la formuler en termes "plus mathématiques"
Cette application permet alors d'indexer les éléments de E, sans omission ni répétition, par la suite des entiers... Ce qui est la définition de la dénombrabilité (aussi!)...
2) Comme pour la question 1, un sens est évident...
Inversement : Supposons l'existence d'une surjection de N sur E ...
Considérons les ensembles I_n = {ensemble des entiers qui ont la même image que n}
Ces ensembles sont tous non vides, bien entendu...
Soit A l'ensemble suivant (essaie de le "construire"...)
L'ensemble des minimums des ensembles I_n.
A et E sont équipotents. CQFD
A toi de détailler.
3) Considérer l'application suivante :
f(0) = 0
f(1) = 1 et f(-1) = 2
f(2) = 3 et f(-2) = 4
f(3) = 5 et f(-3) = 6...
Plus précisément, si n positif :
f(n) = 2n-1 et f(-n) = 2n
f est une bijection...
4) Tu veux sans doute que l'on montre que N*N est dénombrable?
Considérer l'application : f(p,q) = q + (p+q)(p+q+1)/2
Essaie de montrer qu'elle est bijective...
Cette application est connue, la fonction de couplage de Cantor.
Essaie de montrer qu'elle est bijective
Géométriquement parlant (cf le net)... c'est comme si on "compte les couples de N*N en diagonale" :p
5) Donc, dans l'ordre...
a) Soit f une application bijective de A vers N.
On suppose A infini, l'autre cas est sans intérêt
La restriction de f à A/B est donc injective... (le cas A/B vide, 7aja khra... mais l'ensemble vide est dénombrable ^^)
Injection de A/B de N ==> Dénombrable donc
b) Cette intersection est contenue dans chacun des ensembles.
Même démonstration que pour a)
c) E est équipotent à A, et F équipotent à B, avec A et B deux parties de N.
E*F et A*B sont donc équipotents (pourquoi?)
A*B est une partie de N*N.
C'est donc bon d'après 4)
d) Construisons une bijection de Q vers Z*N
Déjà, on part du fait que Z*N est dénombrable...
Pourquoi? Z l'est, N*N l'est...
De la même manière que pour la question 3)
On va construire une bijection de Z*N vers N*N
Je la donne (enfin, j'en donne une!), c'est (f,I) avec I l'identité sur N, et f l'application de la question 3.
Considérons maintenant l'application suivante, de Q vers Z*N :
Si r = p est entier relatif : g(p) = (p,0)
S r n'est pas entier, considérons sa seule écriture r = p/q avec p et q premiers entre eux, avec p entier relatif et q entier naturel.
g(r) = g(p/q) = (p,q).
g est une bijection de Q vers Z*N
Q et Z*N sont équipotents.
Z*N et N sont équipotents.
L'équipotence est une relation d'équivalence... donc...
e) A = U Ai avec i appartient à M partie de N (N lui même ou {0,1,...,p} dans le cas d'une réunion finie...)
Notons fi une surjection de N vers Ai (bijection dans le cas Ai infini...
Considérer alors l'application N*N vers A suivante :
f(i,n) = fi(n) quand i appartient à M
f(i,n) = x un élément fixe de A sinon...
C'est une surjection.
Surjection de N*N vers A...
Ce n'est pas le résultat de la question 2) mais presque...
A compléter aisément
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