Algèbre de Lie

Bonsoir
Soit G un sous-groupe fermé de GL_n(IR}). On pose :
g={A de M_n(IR) / exp(tA) dans G pour tout t dans IR }.

Montrer que g est un espace vectoriel (il s'agit de l'algèbre
de Lie de G ) et que pour tout A,B dans g : [A,B]=AB-BA est dans g.

AA+

salut!

montons que g est un espace vectoriel

g est non vide(contient la matrice nulle)

soit A,B 2 éléments de g et a,b 2 éléments de IR

On a: aA+bB est un Mn(IR) (1)

exp(atA) et exp(btB) appartiennent à G. Or G sous-groupe =>
exp(atA).exp(btB)=exp(aA+bB)t appartient à G (2)

(1) et (2) => g espace vectoriel.

J'aimerai bien avoir une solution pour la dernière question. Merci

Bonjour,

Pivot : peux-tu détailler le passage exp(tA) et exp(tB) dans G entraîne
exp(t (A+B) ) ?
Attention exp( A+B) = exp(A)°exp(B) n'est en général valable que pour toutes les matrices qui commutent.

lolo

Un ami a eu cet exercice en colle, et voilà ce qu'il m'a dit pour la deuxième partie :
Il faut calculer la limite de (epx(A/n) exp(B/n) exp(-A/n) exp(-B/n))^{n^2} et on montre par DL à l'ordre 2 (mais attention, il faut être soigneux, ça ne commute pas, c'est très pénible à rédiger ce truc mais ça marche) que ça vaut ou bien exp(AB-BA) ou bien exp(BA-AB) (j'ai oublié, mais c'est l'une des 2).