- khalil-rca a écrit:
- bonjour, svp je viens d'avoir cet exo en colle alors c fait plusieurs suppos comme travailler dans une base mais ca as pas donne la satisfaction du colleur.
esque vs pouvez me conseiller une resolution de l'exo et merci
resoudre X + A^X = B ( tous les elements A , B et X sont des vecteurs).
(^ produit vectoriel).
BSR Khalil ....
Un petite idée ......
1er Cas : supposons que les vecteurs A et B sont liés , il existe k<>0 tel que B=k.A
Alors si X est solution de ton problème , on devra avoir :
X + X^A=k.A
Et , si on pose X=k.Y alors : Y + Y^A= A
Une solution évidente Yo=A d’où Z=Y-A est solution de Z + Z^A= 0
On a nécessairement Z orthogonal à Z ; ce qui donne forcément Z=0
En conclusion on a une seule solution X=k.A=B .
2ème Cas : sinon les deux vecteurs sont linéairement indépendants et on considère l’espace rapporté à un repère ayant
pour base {A , B , A^B}. Cette base n’est pas ORTHOGONALE en général sauf si A.B=0
dans cette base X s’écrira X=a.A+b.B+c.(A^B) et posons t =A.B
X^A=b.B^A + c.(A^B)^A
Utilisons la Formule du Double-Produit Vectoriel pour écrire :
X^A=b.B^A + c.(A^B)^A=b.B^A + c.{(A.A).B – t .A}
=b.B^A + c.||A||^2.B-c.t.A
Ainsi :
X + X^A = {a – c.t}.A + {b + c.||A||^2}.B + {c – b}.(A^B) et c’est égal à B .
D’où a=c.t , c=b et b+c.||A||^2 =1
D’où a= (A.B).{1/(1+||A||^2)} puis b=c={1/(1+||A||^2)}
Conclusion : une seule solution X = {1/(1+||A||^2)}.{(A.B).A + B+(A^B )} dans ce 2ème Cas .
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