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 exercice casse la tête

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albertmath
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MessageSujet: exercice casse la tête   Dim 22 Nov 2009, 13:58

Prouver qu'il n'existe pas de fonction f:R--->R telle que pour tous réels et x,y
f(x+f(y^3))=y+f(x^3)
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darkpseudo
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MessageSujet: Re: exercice casse la tête   Dim 22 Nov 2009, 17:03

bsr ... bon bein voila ce ke j'ai fait :

f(x+f(y^3))=y+f(x^3)
donc :

f(y+f(x^3)) = x + f(y^3)
alrs : f(f(y+f(x^3))) = y+f(x^3)

prenons y+f(x^3) = X
on aura : f(f(X)) = X
donc f(X) = X
et sa c'est pas une fonction ... enfin je pense ^^
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ThE JoKeR
Débutant


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MessageSujet: Re: exercice casse la tête   Dim 22 Nov 2009, 18:30

bonsoir "darkpseudo":
f(x)=x est une fonction juste,
pour moi j ai essayé de demontrer que f(x)=x et f(x)=y
et on sait que dans R, un nombre ne peut avoir qu une seule image
donc faut essayer de demontrer f(x)=x et f(y)=y , comme ça on px deduire que cette fonction n existe po dan R > R !
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majdouline
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MessageSujet: Re: exercice casse la tête   Dim 22 Nov 2009, 18:46

darkpseudo a écrit:
bsr ... bon bein voila ce ke j'ai fait :

f(x+f(y^3))=y+f(x^3)
donc :

f(y+f(x^3)) = x + f(y^3)
alrs : f(f(y+f(x^3))) = y+f(x^3)

prenons y+f(x^3) = X
on aura : f(f(X)) = X
donc f(X) = X

et sa c'est pas une fonction ... enfin je pense ^^
fof(x)=x===>f(x)=x si f est croissante sur IR...
quelle déduction!!!!
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majdouline
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MessageSujet: Re: exercice casse la tête   Dim 22 Nov 2009, 18:54

albertmath a écrit:
Prouver qu'il n'existe pas de fonction f:R--->R telle que pour tous réels et x,y
f(x+f(y^3))=y+f(x^3)
pour tous réels et x,y on a :
f(x+f(y3))=y+f(x3)
pour y=x on aura:
f(x+f(x3))=x+f(x3)
alors f(x)=x
on a: f(x+f(y3))=y+f(x3)
ça devient donc : pour tout x,y on a :
x+f(y3)=y+f(x3)
<=>x+y3=y+x3
ce qui n'est pas vrai pour tout x et y de IR.....ce qui est absurde
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darkpseudo
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MessageSujet: Re: exercice casse la tête   Dim 22 Nov 2009, 19:02

Ok je continu alr pour enlever l'ambiguité ^^ ....
f(X) = X
donc f(x+f(y^3))=x+f(y^3)
or on a déja : f(x+f(y^3))=y+f(x^3)
donc : x+f(y^3) = y+f(x^3)
puisque : f(X) = X donc : f(y^3)= y^3

l'equation devient : x+x^3 =y +y^3
ce qui nous raméne a x=y ... wa hada tana9oude ... sauf erreur
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darkpseudo
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MessageSujet: Re: exercice casse la tête   Dim 22 Nov 2009, 19:04

majdouline a écrit:
darkpseudo a écrit:
bsr ... bon bein voila ce ke j'ai fait :

f(x+f(y^3))=y+f(x^3)
donc :

f(y+f(x^3)) = x + f(y^3)
alrs : f(f(y+f(x^3))) = y+f(x^3)

prenons y+f(x^3) = X
on aura : f(f(X)) = X
donc f(X) = X

et sa c'est pas une fonction ... enfin je pense ^^
fof(x)=x===>f(x)=x si f est croissante sur IR...
quelle déduction!!!!

Heu c'est pas ce que je voulait dire par c'est pas une fonction ... je voulai just dire que c'est absurd ... Et je sais que tu dira que j'ai copier ta méthode mais c'est pas vrai car j'etai en train d'écrire quand poster ...
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albertmath
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MessageSujet: Re: exercice casse la tête   Lun 23 Nov 2009, 13:07

voila moi ce qui j'ai trouvé
pour y=0 la formule devient:f(x^3)=f(x+f(0))
<=> f((x-f(0))^3)=f(x) (1)
pour x=0 la formule devient: f(f(y^3))= y+f(0) (2)
de (2) on déduit que f(f(x-f(0)^3)=f(f(x))=x-f(0)+f(0)=x d'ou fof(x)=x f(f(x^3))=x^3
f(f(x^3))= x+f(0) selon (2)
donc f(0)=x^3-x pour tout x appartient à R
aucune focntion ne peut remplir cette équation.
d'ou il n y a pas de fonction qui remplit l'équation de l'énoncé.
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