exercice casse la tête

Prouver qu'il n'existe pas de fonction f:R--->R telle que pour tous réels et x,y
f(x+f(y^3))=y+f(x^3)

bsr ... bon bein voila ce ke j'ai fait :

f(x+f(y^3))=y+f(x^3)
donc :

f(y+f(x^3)) = x + f(y^3)
alrs : f(f(y+f(x^3))) = y+f(x^3)

prenons y+f(x^3) = X
on aura : f(f(X)) = X
donc f(X) = X
et sa c'est pas une fonction ... enfin je pense ^^

bonsoir "darkpseudo":
f(x)=x est une fonction juste,
pour moi j ai essayé de demontrer que f(x)=x et f(x)=y
et on sait que dans R, un nombre ne peut avoir qu une seule image
donc faut essayer de demontrer f(x)=x et f(y)=y , comme ça on px deduire que cette fonction n existe po dan R > R !

albertmath a écrit:

Prouver qu'il n'existe pas de fonction f:R--->R telle que pour tous réels et x,y
f(x+f(y^3))=y+f(x^3)

pour tous réels et x,y on a :
f(x+f(y³))=y+f(x³)
pour y=x on aura:
f(x+f(x³))=x+f(x³)
alors f(x)=x
on a: f(x+f(y³))=y+f(x³)
ça devient donc : pour tout x,y on a :
x+f(y³)=y+f(x³)
<=>x+y³=y+x³
ce qui n'est pas vrai pour tout x et y de IR.....ce qui est absurde

Ok je continu alr pour enlever l'ambiguité ^^ ....
f(X) = X
donc f(x+f(y^3))=x+f(y^3)
or on a déja : f(x+f(y^3))=y+f(x^3)
donc : x+f(y^3) = y+f(x^3)
puisque : f(X) = X donc : f(y^3)= y^3

l'equation devient : x+x^3 =y +y^3
ce qui nous raméne a x=y ... wa hada tana9oude ... sauf erreur

majdouline a écrit:

darkpseudo a écrit:

bsr ... bon bein voila ce ke j'ai fait :

f(x+f(y^3))=y+f(x^3)
donc :

f(y+f(x^3)) = x + f(y^3)
alrs : f(f(y+f(x^3))) = y+f(x^3)

prenons y+f(x^3) = X
on aura : f(f(X)) = X
donc f(X) = X
et sa c'est pas une fonction ... enfin je pense ^^

fof(x)=x===>f(x)=x si f est croissante sur IR...
quelle déduction!!!!

Heu c'est pas ce que je voulait dire par c'est pas une fonction ... je voulai just dire que c'est absurd ... Et je sais que tu dira que j'ai copier ta méthode mais c'est pas vrai car j'etai en train d'écrire quand poster ...

voila moi ce qui j'ai trouvé
pour y=0 la formule devient:f(x^3)=f(x+f(0))
<=> f((x-f(0))^3)=f(x) (1)
pour x=0 la formule devient: f(f(y^3))= y+f(0) (2)
de (2) on déduit que f(f(x-f(0)^3)=f(f(x))=x-f(0)+f(0)=x d'ou fof(x)=x f(f(x^3))=x^3
f(f(x^3))= x+f(0) selon (2)
donc f(0)=x^3-x pour tout x appartient à R
aucune focntion ne peut remplir cette équation.
d'ou il n y a pas de fonction qui remplit l'équation de l'énoncé.