exercice d olympiade

aidez moi
x+y+z =1
montrz que 1/3<x*x+y*y+z*z

est-ce x²+y²+z²>1/3 ??

oui c'est ça

euh faut démotrer que x²+y²+²>1/3 ou la premiere?

D'apres chebychev
x^2+y^2+z^2>=1/3(x+y+z)(x+y+z)

d'après cauchy shwarz ona :(x²+y²+z²)(1+1+1)>(x+y+z)²
donc: x²+y²+z²>1/3

Pourrais-je savoir qu'est ce que vous avez avec ce cauchy-shwarz j'ai jamais entendu parler de ce type avant de trouver son nom dans presque tout les sujets du forum!Est ce qu'on est censé savoir un de ces théorèmes ????

Non tu n'est pas censé les savoir tu ne risque pas d'avoir besoin de ces théroémes jusqu'en deuxiéme année prépa ... Mais ces justes des trucs que les amoureux de maths connaissent ^^ et aiment utilisé

et pourquoi utiliser donc les théorèmes pour ce simple petit exo!!:
bonjour soumitous ....
essaie de resoudre l'exo suivant:
montrer que pour tous x y et z des réels on a :
x²+y²+z²>=xy+yz+zx
montrer que : (x+y+z)²=x²+y²+z²+2(xy+yz+zx)
en déduire que :
3(x²+y²+z²)>=(x+y+z)²
sachant que x+y+z=1 montrer que : x²+y²+z²>=1/3

merci beaucoup

(dsl pour le retard je viens de voir le message)
Euh pour la premiere:
on a x²+y² >= 2xy donc 1/2 x²+1/2 y²>=xy on fait de meme pour x+z et y+z et on additionne
1/2 x²+1/2x²+1/2y²+1/2y²+1/2z²+1/2z² >=xy+yz+zx
D'où x²+y²+z²>= xy+yz+xz

Pour la 2eme on développe
et pour en déduire:
On a : 2(xy+xz+yz)=(x+y+z)²-(x²+y²+z²)
Et aussi 2(x²+y²+z²) >= 2(xy+yz+xz)
On remplace : 2(x²+y²+z²) >= (x+y+z)²-(x²+y²+z²)
Alors 3(x²+y²+z²)>=(x+y+z)²

Et la derniere
On a : x+z+y=1
Du coup 3(x²+y²+z²) >= 1
x²+y²+z² >= 1/3

Merciiii faut dire qu'avec cauchy swartz sa resume tout XD