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 exercice d'olympiade

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mathos
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MessageSujet: exercice d'olympiade   Jeu 03 Déc 2009, 00:44

ABC un triangle tel que BÂC=120° .
les bissectrices des angles BÂC ,ABC est ACB coupent les cotés opposés respectivement en D,E et F.
Montrez que le cercle de diamètre [EF] passe par le point D.
Good Luck
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mathos
Féru


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MessageSujet: Re: exercice d'olympiade   Ven 04 Déc 2009, 00:04

j'attends vos suggestions !!!
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Thalès
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MessageSujet: Re: exercice d'olympiade   Mar 15 Déc 2009, 00:04

Bon à première vue je propose cette solution un peu tirée par les cheveux :
Soit H le milieu de EF donc H est le centre du cercle.
D'après le théorème des bissectrices internes on a :
AF/BF=AC/BC et AE/EC=AB/BC
<=> AF=AC.AB/(BC+AC) et AE=AC.BC/(AB+BC) (1)
D'après le théorème d'Al Kashi dans le triangle AEF on a :
EF²=AF²+AE²+AF.AE
FH²=1/4[AF²+AE²+AF.AE] (2)
On remplace (1) dans (2), on aura FH en fonction de AB,BC et CA.
D'après le théorème de la médiane on a :
AF²+AE²=2AH²+1/2EF²
On trouve ainsi AH en fonction de AB;BC et CA.
On a aussi d'après le théorème des bissectrices :
AD²=AB.BC{1-[BC/(AB+BC)]²}
D'où AD en fonction de AB;BC et CA.
Puis on trouve que : AD-AH=FH=HD=R où R est le rayon du cercle. (utiliser aussi le fait que BC²=AC²+BC²+AC.BC d'après Al Kashi)
Donc D est un point du cercle
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mathos
Féru


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MessageSujet: Re: exercice d'olympiade   Mer 16 Déc 2009, 00:52

c bien fait thales , j'ai suivi un peu près la même méthode que toi meme si elle est un peu longue malheureusement
sauf moi j'ai donné FE en fontion de AF et AD ,(en utilisant AL Kashi) DE en fontion de AE et AD et FE en fonction de AE et AF.

et commé t'a trouvé AE ,AF et AD en fonction des cotés du triangle
en remplacant et en utilisant BC²=AC²+BC²+AC.BC on trouve
FE²=AF²+AE² alors d'après phytagore FDE est rectangle en D d'ou le résultat
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