BSR à Toutes et Tous !!
BSR memath !! Celà fait un bout de temps ......
En fait ces applications f sont des ISOMETRIES de IR .
J'aurais commencé comme tu l'as fait : soit f une eventuelle solution :
il est clair que f est continue sur R.
g(x)=f(x)-f(0) est aussi solution verifiant g(0)=0
pour y=0 on obtient |g(x)|=|x| pour tout x dans IR
et maintenant je change de fusil ....
Soit h l'application x -----> h(x)=g(x)/x définie sur IR* et ne s’annulle JAMAIS .
Sur ]0;+oo[ h est continue et ne peut prendre que les valeurs 1 ou -1
comme l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle alors h(IR+*) est soit {1} ou {-1}
On fait le même raisonnement avec h mais cette fois sur IR-* donc on conclut aussi que h(IR-*) est soit {1} ou {-1}
Maintenant , il faut analyser ….. On tombe sur QUATRE cas :
1) Pour tout x dans IR* , h(x)=1 cela conduit à g(x)=x sur IR puis aux solutions f=Id+k avec k dans IR ;
2) Pour tout x dans IR* , h(x)=-1 et cela conduit aux solutions f=-Id+k k constante réelle arbitraire ;
3) h(x)=1 sur IR+* et h(x)=-1 sur IR-* et enfin
4) h(x)=-1 sur IR+* et h(x)=1 sur IR-*
Montrons que les cas 3) et 4) qui sont symétriques ne peuvent se produire …..
Si par exemple 3) était réalisé alors il existerait a>0 et b<0 tels que g(a)=a et g(b)=-b ; on aurait alors
|g(a)-g(b)|=|a+b|=|a-b|=a-b qui implique par un raisonnement approprié a=0 OU b=0 ce qui serait absurde !
Même raisonnement dans l’éventualité ou 4) est réalisé .
LHASSANE
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