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 matrice

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mohamed
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MessageSujet: matrice   matrice EmptyDim 27 Déc 2009, 17:20

soit A une matrice d ordre n telle que A²= -In
Montrer que a est inversible et donner A^(-1) .
Montrer que V X appart. à M (n,1) (R) tel ke X est non nul
la famille (X,AX) est libre
stp aidé moi
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memath
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MessageSujet: Re: matrice   matrice EmptyDim 27 Déc 2009, 18:14

on a -(A)A=In donc A est inversible et A^-1=-A

supposons que (X,AX) est liée alors il existe un p reel non nul tel que
AX=pX <==> -X=pAX=p²X <==> 1+p²=0 ce qui est absurde.
donc (X,AX) est libre.
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mohamed
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MessageSujet: Re: matrice   matrice EmptyDim 27 Déc 2009, 19:19

10x Memath ! ( Je suis à Oujda ces jours ci Smile )
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memath
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MessageSujet: Re: matrice   matrice EmptyDim 27 Déc 2009, 19:32

hh bienvenu XD
on peut resoudre l'equation A²=-In si n est pair.
car sinon det(A²)=det(A)²=(-1)^n=-1 et l'égalité n'aura aucun sens.
si n est pair on peut trouver des reels x1,x2,...x(n/2) tel que :
f(x1,f(x1),x2,f(x2)....,x(n/2),f(xn/2)) soit libre (par recurence)
avec f l'endomorphisme de R^n dont A est la matrice dans la base canonique de R^n) donc c'est une base de R^n ,d'ou la forme de A.
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