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 Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010)

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radouane_BNE
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MessageSujet: Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010)   Lun 28 Déc 2009, 20:31


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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010)   Lun 28 Déc 2009, 20:31

chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )

puis il poste le message suivant ici "solution postée".pour plus d'information voir les conditions de participation.

pour ceux qui veulent l'envoyer en mp,veuillez l'envoyer à ma boite!


Merci!

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Sylphaen
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MessageSujet: Re: Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010)   Lun 28 Déc 2009, 21:56

Solution posté ..
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memath
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MessageSujet: Re: Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010)   Lun 28 Déc 2009, 22:06

solution postée
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majdouline
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MessageSujet: Re: Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010)   Lun 28 Déc 2009, 22:28

solution postée...
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Lahcen BOUNADER
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MessageSujet: Re: Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010)   Lun 28 Déc 2009, 23:55

Solution postée !!
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Alaoui.Omar
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MessageSujet: Re: Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010)   Mar 29 Déc 2009, 03:30

Solution postée
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yugayoub
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MessageSujet: Re: Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010)   Mar 29 Déc 2009, 11:35

solution posté!!
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houssam110
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MessageSujet: Re: Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010)   Jeu 31 Déc 2009, 19:53

Solution POstée ..
BOnne Annee a tous les forumistes Wink
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010)   Jeu 31 Déc 2009, 20:19

Une question subsidiaire : le format Word est-il vraiment inévitable ? Le format pdf, par exemple, n'est-il pas acceptable ?
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010)   Ven 01 Jan 2010, 21:39

Solution postée.
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houssa
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MessageSujet: Re: Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010)   Dim 03 Jan 2010, 10:36

solution postée
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joystar1
Maître


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MessageSujet: Re: Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010)   Dim 03 Jan 2010, 20:56

postée
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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010)   Lun 04 Jan 2010, 17:57

majdouline a écrit:
solution du problème de la semaine n°217(sauf erreur):
Lemma :
Commençons par démontrer que √m est rationnel<=>m est un carré parfait
L’application m est un carré parfait ==>√m est rationnel est triviale (puisque m=u²⇔√m=u avec u∈IN qui est rationnel)
Maintenant : √m est rationnel==> m est un carré parfait
Soit √m=p/q(tel que (p,q)∈IN² et pgcd(p,q)=1)
Equivaut à : m=p²/q² ⇔q²m=p² alors m divise p² alors p²=km (avec k∈IN)
On a : m=p²/q² ça devient donc : m=km/q²⇔q²=k
K est donc un diviseur commun de p² et q²…or il est facile de démontrer par bézout que pgcd(p²,q²)=1 puisque pgcd(p,q)=1) donc k=1⇔q²=1 alors m=p²/q² devient m=p² ====>m est donc un carré parfait
End of lemma
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
supposons (∃n∈IN*) :
posons donc:



d'après le lemme qu'on vient de démontrer n²-1 doit être un carré parfait ...
or pour tout n>1 on a :(n-1)²<n²-1<n²
ce qui est absurde (un carré parfait entre deux carrés successifs)
il nous reste donc le cas où n=1 en vérifiant ce cas on trouve que ça donne V2 ce qui est irrationnel
-----------------------------------------------------------------------------------
conclusion:

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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010)   Lun 04 Jan 2010, 17:58

Lahcen BOUNADER a écrit:
Salam Voilà ce que je propose comme solution:
On pose : N=rac(n-1)+rac(n+1)
Supposons qu'il existe (p,q)£ZxN* tel que : N=p/q avec p et q sont premiers entre eux. alors cherchons l'entier n qui verifie cela :
on a : N=p/q equivaut à N²=p²/q²
equivaut à 2n+2rac(n²-1)=p²/q²
equivaut à rac(n²-1)=p²/(2q²)-n
càd : n²-1=p^4/(4q^4)+n²-np²/q²
donc Sad p²/q²) *(n-p²/(4q²))=1
alors : p²(n-p²/(4q²))=q² . Puisque p et q sont premiers entre eux alors q² divise (n-p²/(4q²)) càd qu'il exite k £Z tel que : n-p²/(4q²)=kq²
donc : 4n-4kq²=p²/q² ce qui est contredit avec p et q sont premiers entre eux . On deduit alors qu'il n'existe pas d'entier n tel que N soit rationnel
Par : Lahcen Bounader

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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010)   Lun 04 Jan 2010, 17:59

yugayoub a écrit:
Salut Mr Radouane voilà ma solution pour
le probleme de la semaine n° : 217

On supose qu’il existe un entier tel que racine(n+1)+racine(n-1) est rationnel donc racine(n+1)+racine(n-1) =a/b (tel que pgcd(a,b)=1)
<==>2(1+ racine(n²-1)) =a²/b²

<==>a²=2(1+ racine(n²-1))b²

<==>a est pair==> il existe k tel que 2k=a donc 4k²=2(1+ racine(n²-1))b²

<==>2k =racine[2(1+ racine(n²-1))]b

<==>b= 2k/racine[2(1+ racine(n²-1))] posant donc racine[2(1+ racine(n²-1))] =k’

<==> b=2k’ ==> b est aussi pair

Puisque a et b son pair alors pgcd(a,b)=2=1 <==>2=1 (absurde)
Donc il existe aucun entier tel que racine(n+1)+racine(n-1) est rationnel
@+

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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010)   Lun 04 Jan 2010, 18:00

houssam110 a écrit:
Salut ..
[/img]http://img109.imageshack.us/img109/4938/problemedlasmaine217.png[img]

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MessageSujet: Re: Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010)   Lun 04 Jan 2010, 18:01

memath a écrit:
supposons qu'un tel entier positif n existe.

puisque (V(n+1)-V(n-1))(V(n+1)+V(n-1))=2€N

V(n+1)-V(n-1) est rationel et donc V(n+1) et V(n-1) sont rationels

donc il existe des entiers a,b,c,d tel que a^b=1 et c^d=1

et V(n+1)=a/b , V(n-1)=c/d

<==> n+1=a²/b² , n-1=c²/d²

donc b=d=1

et donc a²-c²=2

donc c<a <==> c=<a-1

a²-c²>=a²-(a-1)²=2a-1

pour a=1 , c n'existe pas , pour a>=2 a²-c²>=3, absurde.!

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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010)   Lun 04 Jan 2010, 18:03

Dijkschneier a écrit:
On peut intuitivement deviner que cet entier n ne peut exister.
Supposons effectivement par l'absurde que
On peut bien sûr supposer que notre quotient est irréductible.
Par passage au carré :
D'où
Ainsi, a-t-on :
Mais ne peut être pair, car sinon ne serait plus irréductible.
Donc est pair.
Maintenant, est soit un entier, soit un irrationnel.
S'il est irrationnel, alors ne peut être un entier, et ne saurait donc être pair. Contradiction.
S'il est un entier, n et serait clairement de parité différente, et donc leur somme serait forcément impaire. Contradiction, là encore.
Il n'existe finalement pas d'entier n tel que est un rationnel.

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MessageSujet: Re: Problème de la semaine N°217(28/11/2009-04/01/2010)   

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