kholle

prenons deux matrices A et B de M_n(C) tel que AB=BA et A est nilpotente.

montrer que det(A²+AB+B²)=det(B)².

une remarque importante ; si A de Mn(C) est nilpotente alors A^n=0

donc A^{n-1}(A²+AB+B²)=A^{n-1}B²
d'ou det(A^{n-1})det(A²+AB+B²)=det(A^{n-1})det(B²)
<==> det(A²+AB+B)=det(B²)

(sauf erreur) j'ai pas utilisé AB=BA ??!!

pourquoi det(A^(n-1)) est différent de 0.

hilbert_1988 a écrit:

pourquoi det(A^(n-1)) est différent de 0.

En général, det(A^K)=(detA)^k
si A est nilpotente, alors A^n=0
===> det(A)=0 ==> A non inversible

A et B commutent et A nilpotente
==> A²+AB=A(A+B) aussi nilpotente
Pour montrer l'égalité il suffit d'utiliser le résultat général suivante:

Lemme: si N nilpotente et A commute avec N ==> det(A+N)=det(A)

preuve: montrons d'abord que det(I+N)=1

Soit z une valeur propre de I+N, il existe x#0 tq (I+N)x=zx
==> Nx=(z-1)x
==>N^n(x)=(z-1)^nx=0==> z=1
==> spectre(I+N)={1} d'où le résultat.

Si A est inversible, d'inverse B
==> det(A+N)=det(A)det(I+BN)=det(A) car BN nilpotente

Enfin, si A est qcq . A est limite d'une suite de matrices inversibles
et det continue ( prenez n'importe quelle norme de matrices car elles sont toutes équivalentes)
==> l'égalité en réslute

bien vu omar.c le meme procédé que j utilisé mais ce qui est drole c que c la meme chose pour la premiere solution.
pour la preuve du lemme de la premiere solution il suffit de procedé comme allaoui (trigonaliser).
a+