inspiré d'un oral d'X

soit X et A deux éléments de M_n(C).

on dit que X est un inverse généralisé de A si XAX=X et AXA=A avec XA et AX sont hermitiennes.

Prouver que pour tout A de M_n(C),il existe un unique inverse généralisé X.

je crois que c'est faux et voila un contre exemple dans M2(C)
soit x un reel.

A=0 0.........X=0 x
....0 1.............0 1

on a AXA=A et XAX=X ?!!

memath a écrit:

je crois que c'est faux et voila un contre exemple dans M2(C)
soit x un reel.

A=0 0 X=0 x
0 1 0 1

on a AXA=A et XAX=X ?!!

Reste à vérifier la dernière condition ..

à verifier !!

Alaoui.Omar a écrit:

memath a écrit:

je crois que c'est faux et voila un contre exemple dans M2(C)
soit x un reel.

A=0 0 X=0 x
0 1 0 1

on a AXA=A et XAX=X ?!!

Reste à vérifier la dernière condition ..

ah desolé , je me suis documenté et maintenant je sais ce que c'est qu'une matrice hermitienne.

Sauf que la démo de Omar suppose comme connu beaucoup de résultat sur les limites des matrices.
je sais pas si on peut trouver une autre démonstration qui construit de petit à petit l'inverse généralisé....

Salam
Qlq ' un peut m'expliquer qu'est ce que c'est AX et XA sont hermitiennes??

il faut attendre l'année prochaine donc

slt.
pour mr allaoui il faut encore verifier ce que ta ecrit.
EXISTENCE:
bn on a va traiter d'abord le cas d'une matrice hermitienne H de rang r.on diagonalise d'abord H donc il existe P orthogonale (p*p=I) tel que :
P*HP=diag(a_1,...a_r,...,a_n) avec a_1,...,a_r non nulles.
on a la matrice R*diag(1/a_1;...,1/a_r)R avec R constitué des premiers r colonnes de P est une inverse generalisée de H.il suffit de verifier.
maintenant on pose G=A*A donc G est hermitienne et soit U son inverse generalisé.
soit A matrice carré complexe et X son inverse generalisé.
alors XAX=UA*AUA*=X=UA* et AXA=AUA*A=A et UA*A et AUA* sont hermitennes donc on peut voir UA* comme inverse generalisé de A.or l'existence de U est deja justifié alors l'existence de X maintenant est justifié.
UNICITE:
je dois dormir,lool, que quelqu'un termine la preuve ou bien j vais l completer apres car j po encore essayer de la prouver .
a+

UNICITE

si XAX=X et AXA=A avec XA et AX sont hermitiennes
et YAY=Y et AYA=A avec YA et AY sont hermitiennes.

AXX*=(AX)*X*=X*A*X*=X* et XAA*=(XA)*A*=A*X*A*=A*
de même AYY*=Y* et YAA*=A*


XA
=XAXA=X(AA*Y*)XA
=XAA*Y*XA
=A*Y*XA
=(YA)*XA
=YAXA
=YA
de même AX=AY

==> X=XAX=YAX=YAY=Y


[/u]

kalm a écrit:

slt.
pour mr allaoui il faut encore verifier ce que ta ecrit.
..
a+

Bien vu

merci