Vecteurs de l'espace

Bonjour j'ai cet exercice à faire pour la rentrée mais j'ai quelques problemes avec. Merci d'avance à ce qui pourront m'aider :




1) a) Dans le cube :
- (DA) et (DH) perp. (DC) et (DH) perp. et (DA) et (DC) perp.
- normes des vecteurs DA, DC et DH sont égales

2) DC ( 1-0 ; 1-0 ; 1-0 ) <-> DC (1 ; 1 ; 1)
or dans le cube DC = AB =HG = CB

et soient A(1;1;1) et B(x;y;z)

AB (1;1;1) <-> x-1=1 <-> x=2
y-1=1 y=2
y-1=1 z=2

B(2;2;2) donc G(2;2;2)

donc :

Soient (x;y;z) A(1;1;1) B(2;2;2)
x = (1+2)/2 <-> x = 3/2
y= (1+2)/2 y = 3/2
z = (1+2)/2 z = 3/2

N (3/2; 3/2 ; 3/2 ) donc P (3/2; 3/2 ; 3/2 ) et M (3/2; 3/2 ; 3/2 )

c) MN = norme du vecteur MN = ( racine carrée) (3/2-3/2)^2+(3/2-3/2)^2+(3/2-3/2)^2 = 0

MP = 0
NP =0

Donc MNP est équilatéral

Ces résultats me semblent étranges !

d) NOn réussie

2 a) I milieu de AC et A (1;1;1) et C (1;1;1)

AC (1-1; 1-1;1-1) <-> AC (0;0;0)

donc I ((1+1)/2 ; (1+1)/2 ; (1+1)/2 ) <-> I (1;1;1)

or H(1;1;1)

donc IH ( 1-1 ; 1-1; 1-1) <-> IH (0; 0; 0)
Ces résultats me paraissent aussi peu probables

b) Non réussie
c) Non réussie
d) Non réussie
e) Non réussie

J'ai finalement réussi tout l'exercice sauf la 1)d) et 2)e). Quelqu'un peut m'aider ? Merci d'avance !

salam

1) a- il manque : cube d'arête 1

b- M(0,1/2,1) , N(1,1/2,0) P(1/2,1,0)

c- MNP rectangle en P: MN²=MP²+NP²

d- soit T milieu de [DC]

MTP rectangle en T
(TP) // (DB)
(AC) perpend.à ((DB) ===> à (TP)
(AC) orthog.à(MT)

donc (AC) orthogon.au plan (MTP) ===> à (MP)
or (PN) // (AC) : droite des milieux dans ABC
conclusion (NP) perpend. à (MP)

2)a- I(1/2 , 1/2 , 0) H(0,0,1)

===> IH(-1/2 , -1/2 , 1)

or IK = 1/3 .IH ====> on pose K(x,y,z)

x-1/2 = 1/3(-1/2) =======> x = 1/3
y-1/2 = 1/3(-1/2) =======> y = 1/3
z-0 = 1/3(1) ===========> z = 1/3

c- F(1,1,1) ====> vect(DF) = 3.vect(DK) ====> D , f et K sont alignés

d- tout en vecteur:

remarque : K est aussi centre de gravité de HDB

donc : KD + KH + KB = 0

===> KD + KD+DH + KD+DB = 0

===> 3.KD + DF = 0

===> KD et DF colinéaires ===> cqfd

.

Merci Beaucoup Houssa !