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 Aide!Inégalité...

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mohadil
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Masculin Nombre de messages : 1
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MessageSujet: Aide!Inégalité...   Aide!Inégalité... EmptyDim 03 Jan 2010, 05:33

svp ,est que qqn peut me mettre sur la piste
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Sylphaen
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Sylphaen

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MessageSujet: Re: Aide!Inégalité...   Aide!Inégalité... EmptyDim 03 Jan 2010, 10:21

A , B et C sont non nuls car ABC = 1.
De plus, un au moins de ces réels
est < 1 et un au moins de ces réels est > 1 car sinon
on ne peut avoir ABC=1.
On peut donc supposer que A < C <
B avec A < 1 et B > 1.
Remarquons aussi que :
Aide!Inégalité... Cor-ex24=
Aide!Inégalité... Cor-ex25donc
Aide!Inégalité... Cor-ex26
Or
Aide!Inégalité... Cor-ex27
donc
Aide!Inégalité... Cor-ex28



De même , on a :
Aide!Inégalité... Cor-ex29
et
Aide!Inégalité... Cor-ex210






D'où , en effectuant les produits:

Aide!Inégalité... Cor-ex211=
1

Si Aide!Inégalité... Cor-ex21
,
Aide!Inégalité... Cor-ex22
et
Aide!Inégalité... Cor-ex23
sont > 0
, on a alors la conclusion en passant aux racines carrées.


Si un des Aide!Inégalité... Cor-ex21
,
Aide!Inégalité... Cor-ex22
ou
Aide!Inégalité... Cor-ex23
est < 0 , alors c'est forcément que l'on a:
Aide!Inégalité... Cor-ex21<
0 et alors Aide!Inégalité... Cor-ex22>
0 et Aide!Inégalité... Cor-ex23>
0 .
Dans ce cas , le produit le produit (Aide!Inégalité... Cor-ex21)(Aide!Inégalité... Cor-ex22)(Aide!Inégalité... Cor-ex23)
est < 0 et donc < 1.

Dans tous les cas , on a bien : (Aide!Inégalité... Cor-ex21)(Aide!Inégalité... Cor-ex22)(Aide!Inégalité... Cor-ex23)
< 1 si ABC = 1 avec A , B et C > 0.
C'est tiré de math express ...
C'est un exo de l IMO 2000
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M.Marjani
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M.Marjani

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MessageSujet: Re: Aide!Inégalité...   Aide!Inégalité... EmptyJeu 01 Avr 2010, 17:02

En utilisant L'inigalités nommé " Ravi Substitution " on facilite les choses.

* abc=1
* Posons a=x/y ; b=y/z ; x=z/x de tout x,y,z>0
* Notre inigalités demeure : (x/y -1 +z/y)(y/z -1 +x/z)(z/x -1 +y/x)=<1 <=> xyz >= (y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)
D'ou le résultat Smile
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nmo
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MessageSujet: Re: Aide!Inégalité...   Aide!Inégalité... EmptyLun 05 Avr 2010, 11:33

M.Marjani a écrit:
En utilisant L'inigalités nommé " Ravi Substitution " on facilite les choses.

* abc=1
* Posons a=x/y ; b=y/z ; x=z/x de tout x,y,z>0
* Notre inigalités demeure : (x/y -1 +z/y)(y/z -1 +x/z)(z/x -1 +y/x)=<1 <=> xyz >= (y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)
D'ou le résultat Smile
Pourquoi xyz >= (y+z-x)(z+x-y)(x+y-z) est juste?
Peux-tu m'expliquer cela.
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MohE
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MohE

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MessageSujet: Re: Aide!Inégalité...   Aide!Inégalité... EmptyLun 05 Avr 2010, 19:32

Elle est equivalente a l'inégalité de Schur, et aussi tu peux le prouver en considerant deux cas,
cas 1. x,y,z ne sont pas les longeures des côtés d'un triangle, ce cas étant trivial (car L.H.S>=0>=R.H.S) il te suffira de voire le deuxième cas ou x,y,z sont les longueures des côtés d'un triangle, Là, tu utilise la transformation de ravi, le reste, tu es bien capable de le faire!
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nmo
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MessageSujet: Re: Aide!Inégalité...   Aide!Inégalité... EmptyVen 09 Avr 2010, 17:07

MohE a écrit:
Elle est equivalente a l'inégalité de Schur, et aussi tu peux le prouver en considerant deux cas,
cas 1. x,y,z ne sont pas les longeures des côtés d'un triangle, ce cas étant trivial (car L.H.S>=0>=R.H.S) il te suffira de voire le deuxième cas ou x,y,z sont les longueures des côtés d'un triangle, Là, tu utilise la transformation de ravi, le reste, tu es bien capable de le faire!
Que veut-on dire par ce qui est en rouge.
Peux-tu m'éclairer tant?
J'ai démontré l'inégalité au cas ou x, y, et z sont des côtés d'un triangles.
Je vais la poster plus tard.
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nmo
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MessageSujet: Re: Aide!Inégalité...   Aide!Inégalité... EmptyDim 11 Avr 2010, 11:38

Voici la réponse:
On a (b-c)^2>=0.
Donc 0>=-(b-c)^2.
Donc a^2>=a^2-(b-c)^2.
Donc a^2>=(a-b+c)(a+b-c).==>(1)
Même methode pour trouver que b^2>=(b-a+c)(b+a-c).==>(2)
Et que c^2>=(c-a+b)(c+a-b).==>(3)
En multipliant 1, 2 et 3, on trouve a^2 *b^2 *c^2>=(a-b+c)(a+b-c)(b-a+c)(b+a-c)(c-a+b)(c+a-b).
Donc (abc)^2>=[(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]^2.
Puisque a, b et c sont les coté d'n triangle, il vient que a>0 et b>0 et c>0.
Donc abc>0.
Et en appliquant l'inégalité triangulaire, il vient que b+c>a et a+c>b et a+b>c.
Donc -a+b+c>0 et a-b+c>0 et a+b-c>0.
Donc (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)>0.
Ainsi, on déduit l'inégalité désiré: abc>=(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c).
P.S: Je n'arrive pas à démontrer l'autre cas MohE.
A toi de m'aider.
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M.Marjani
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M.Marjani

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MessageSujet: Re: Aide!Inégalité...   Aide!Inégalité... EmptyJeu 15 Avr 2010, 11:57

nmo a écrit:
Voici la réponse:
On a (b-c)^2>=0.
Donc 0>=-(b-c)^2.
Donc a^2>=a^2-(b-c)^2.
Donc a^2>=(a-b+c)(a+b-c).==>(1)
Même methode pour trouver que b^2>=(b-a+c)(b+a-c).==>(2)
Et que c^2>=(c-a+b)(c+a-b).==>(3)
En multipliant 1, 2 et 3, on trouve a^2 *b^2 *c^2>=(a-b+c)(a+b-c)(b-a+c)(b+a-c)(c-a+b)(c+a-b).
Donc (abc)^2>=[(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]^2.
Puisque a, b et c sont les coté d'n triangle, il vient que a>0 et b>0 et c>0.
Donc abc>0.
Et en appliquant l'inégalité triangulaire, il vient que b+c>a et a+c>b et a+b>c.
Donc -a+b+c>0 et a-b+c>0 et a+b-c>0.
Donc (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)>0.
Ainsi, on déduit l'inégalité désiré: abc>=(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c).
P.S: Je n'arrive pas à démontrer l'autre cas MohE.
A toi de m'aider.

Il ya un seul cas comme l'a dit MoH " il te suffira de voir le deuxiéme cas ou x,y,z sont les longueurs d'un triangle", je pense que c'est résolu!
Ta soluc est considiré comme une démonstration du "Ravi", bien joué.

Bonne chance.
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