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 Aide!Inégalité...

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mohadil
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Masculin Nombre de messages : 1
Age : 29
Date d'inscription : 03/01/2010

MessageSujet: Aide!Inégalité...   Dim 03 Jan 2010, 05:33

svp ,est que qqn peut me mettre sur la piste
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Sylphaen
Expert sup
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Masculin Nombre de messages : 555
Age : 24
Localisation : Rabat
Date d'inscription : 30/11/2009

MessageSujet: Re: Aide!Inégalité...   Dim 03 Jan 2010, 10:21

A , B et C sont non nuls car ABC = 1.
De plus, un au moins de ces réels
est < 1 et un au moins de ces réels est > 1 car sinon
on ne peut avoir ABC=1.
On peut donc supposer que A < C <
B avec A < 1 et B > 1.
Remarquons aussi que :
=
donc

Or

donc




De même , on a :

et







D'où , en effectuant les produits:

=
1

Si
,

et

sont > 0
, on a alors la conclusion en passant aux racines carrées.


Si un des
,

ou

est < 0 , alors c'est forcément que l'on a:
<
0 et alors >
0 et >
0 .
Dans ce cas , le produit le produit ()()()
est < 0 et donc < 1.

Dans tous les cas , on a bien : ()()()
< 1 si ABC = 1 avec A , B et C > 0.
C'est tiré de math express ...
C'est un exo de l IMO 2000
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M.Marjani
Expert sup
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Masculin Nombre de messages : 1665
Age : 24
Date d'inscription : 05/03/2010

MessageSujet: Re: Aide!Inégalité...   Jeu 01 Avr 2010, 17:02

En utilisant L'inigalités nommé " Ravi Substitution " on facilite les choses.

* abc=1
* Posons a=x/y ; b=y/z ; x=z/x de tout x,y,z>0
* Notre inigalités demeure : (x/y -1 +z/y)(y/z -1 +x/z)(z/x -1 +y/x)=<1 <=> xyz >= (y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)
D'ou le résultat Smile
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nmo
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 2236
Age : 24
Localisation : Elgara
Date d'inscription : 29/10/2009

MessageSujet: Re: Aide!Inégalité...   Lun 05 Avr 2010, 11:33

M.Marjani a écrit:
En utilisant L'inigalités nommé " Ravi Substitution " on facilite les choses.

* abc=1
* Posons a=x/y ; b=y/z ; x=z/x de tout x,y,z>0
* Notre inigalités demeure : (x/y -1 +z/y)(y/z -1 +x/z)(z/x -1 +y/x)=<1 <=> xyz >= (y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)
D'ou le résultat Smile
Pourquoi xyz >= (y+z-x)(z+x-y)(x+y-z) est juste?
Peux-tu m'expliquer cela.
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MohE
Expert grade2
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Masculin Nombre de messages : 317
Age : 25
Localisation : Waterloo, Canada
Date d'inscription : 17/05/2009

MessageSujet: Re: Aide!Inégalité...   Lun 05 Avr 2010, 19:32

Elle est equivalente a l'inégalité de Schur, et aussi tu peux le prouver en considerant deux cas,
cas 1. x,y,z ne sont pas les longeures des côtés d'un triangle, ce cas étant trivial (car L.H.S>=0>=R.H.S) il te suffira de voire le deuxième cas ou x,y,z sont les longueures des côtés d'un triangle, Là, tu utilise la transformation de ravi, le reste, tu es bien capable de le faire!
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nmo
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 2236
Age : 24
Localisation : Elgara
Date d'inscription : 29/10/2009

MessageSujet: Re: Aide!Inégalité...   Ven 09 Avr 2010, 17:07

MohE a écrit:
Elle est equivalente a l'inégalité de Schur, et aussi tu peux le prouver en considerant deux cas,
cas 1. x,y,z ne sont pas les longeures des côtés d'un triangle, ce cas étant trivial (car L.H.S>=0>=R.H.S) il te suffira de voire le deuxième cas ou x,y,z sont les longueures des côtés d'un triangle, Là, tu utilise la transformation de ravi, le reste, tu es bien capable de le faire!
Que veut-on dire par ce qui est en rouge.
Peux-tu m'éclairer tant?
J'ai démontré l'inégalité au cas ou x, y, et z sont des côtés d'un triangles.
Je vais la poster plus tard.
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nmo
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 2236
Age : 24
Localisation : Elgara
Date d'inscription : 29/10/2009

MessageSujet: Re: Aide!Inégalité...   Dim 11 Avr 2010, 11:38

Voici la réponse:
On a (b-c)^2>=0.
Donc 0>=-(b-c)^2.
Donc a^2>=a^2-(b-c)^2.
Donc a^2>=(a-b+c)(a+b-c).==>(1)
Même methode pour trouver que b^2>=(b-a+c)(b+a-c).==>(2)
Et que c^2>=(c-a+b)(c+a-b).==>(3)
En multipliant 1, 2 et 3, on trouve a^2 *b^2 *c^2>=(a-b+c)(a+b-c)(b-a+c)(b+a-c)(c-a+b)(c+a-b).
Donc (abc)^2>=[(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]^2.
Puisque a, b et c sont les coté d'n triangle, il vient que a>0 et b>0 et c>0.
Donc abc>0.
Et en appliquant l'inégalité triangulaire, il vient que b+c>a et a+c>b et a+b>c.
Donc -a+b+c>0 et a-b+c>0 et a+b-c>0.
Donc (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)>0.
Ainsi, on déduit l'inégalité désiré: abc>=(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c).
P.S: Je n'arrive pas à démontrer l'autre cas MohE.
A toi de m'aider.
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M.Marjani
Expert sup
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Masculin Nombre de messages : 1665
Age : 24
Date d'inscription : 05/03/2010

MessageSujet: Re: Aide!Inégalité...   Jeu 15 Avr 2010, 11:57

nmo a écrit:
Voici la réponse:
On a (b-c)^2>=0.
Donc 0>=-(b-c)^2.
Donc a^2>=a^2-(b-c)^2.
Donc a^2>=(a-b+c)(a+b-c).==>(1)
Même methode pour trouver que b^2>=(b-a+c)(b+a-c).==>(2)
Et que c^2>=(c-a+b)(c+a-b).==>(3)
En multipliant 1, 2 et 3, on trouve a^2 *b^2 *c^2>=(a-b+c)(a+b-c)(b-a+c)(b+a-c)(c-a+b)(c+a-b).
Donc (abc)^2>=[(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]^2.
Puisque a, b et c sont les coté d'n triangle, il vient que a>0 et b>0 et c>0.
Donc abc>0.
Et en appliquant l'inégalité triangulaire, il vient que b+c>a et a+c>b et a+b>c.
Donc -a+b+c>0 et a-b+c>0 et a+b-c>0.
Donc (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)>0.
Ainsi, on déduit l'inégalité désiré: abc>=(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c).
P.S: Je n'arrive pas à démontrer l'autre cas MohE.
A toi de m'aider.

Il ya un seul cas comme l'a dit MoH " il te suffira de voir le deuxiéme cas ou x,y,z sont les longueurs d'un triangle", je pense que c'est résolu!
Ta soluc est considiré comme une démonstration du "Ravi", bien joué.

Bonne chance.
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