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 Etude d'une fonction avec logarithme

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maya1011
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MessageSujet: Etude d'une fonction avec logarithme   Etude d'une fonction avec logarithme EmptyDim 03 Jan 2010, 16:24

Bonjour à tous, j'ai un DM de maths sur le chapitre du logarithme qui est plutôt dur.
Alors voici le problème:

PARTIE A: On considère la fonction g définie sur ]0;+∞[ par : g(x)=x² + 2 -2lnx
1) montrer que g'(x)=[2(x²-1)] / x et étudier le signe de g'(x) sur ]0;+∞[ puis faire le tableau de variation de g
2) en déduire que g(x)<0 sur ]0;+∞[

PARTIE B: On considère la fonction f définie sur ]0;+∞[ par : f(x)=x - 1 + 2 lnx/x
C est sa courbe représentative dans un repère orthonormal
1) Montrer que f'(x)=g(x)/x² puis étudier le signe de f'(x)
2) Déterminer lim x→0 f(x) et interpréter graphiquement le résultat obtenu
3) Déterminer lim x→+∞ f(x)
4) Faire le tableau de variation de f
5) Montrer que la droite (D) d'équation y=x-1 est une asymptote oblique à C
Etudier la position de C par rapport à (D)


Pour la partie A, j'ai trouvé :
1) g'(x)=[2(x²-1)] / x
sur ]0;+∞[ : 2(x²-1)>0 et x>0
Donc g'(x)>0 sur ]0;+∞[
2) Comme g'(x)>0 sur ]0;+∞[ on en déduit que g(x)>0 sur ]0;+∞[

Pour la partie B:
1) Je n'arrive pas à trouver la dérivée de f'(x)

2) lim x→0 (x-1) = 0
lim x→0 (2 lnx/x) = 0
Donc lim x→0 f(x) = 0
Mais je ne suis vraiment pas sur

Et le reste je bloque totalement
Pourriez-vous m'aider et me dire si mes calculs sont bons svp
Merci d'avance
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Smaeiil.B
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Smaeiil.B

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MessageSujet: Re: Etude d'une fonction avec logarithme   Etude d'une fonction avec logarithme EmptyDim 03 Jan 2010, 17:42

*faudra rectifier g(x)>0 sur ]0;+∞[
Ce qui est de f' elle est simple f'(x)=1+2((1-lnx)/x^2)=(x^2+2-2lnx)/x^2=g(x)/x^2.
2- limf(x)= -00 (forme deteminé)
3-limf(x)=+00
4-f est croissante sur ]0;+∞[ puisque g(x)>0 de plus limx→0=-00 et limx→+00=+00
5-pour l'asymptote t'aura forcement un point Xo ! F'(Xo)(X-Xo) +F(Xo)
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maya1011
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MessageSujet: Re: Etude d'une fonction avec logarithme   Etude d'une fonction avec logarithme EmptyDim 03 Jan 2010, 18:08

Je ne vois pas comment tu arrives à trouver les 2 limites?
Pourrais-tu m'expliquer stp
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Smaeiil.B
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MessageSujet: Re: Etude d'une fonction avec logarithme   Etude d'une fonction avec logarithme EmptyDim 03 Jan 2010, 18:25

(quand x tend vers 0)limf(x)=limx - 1 + 2 lnx/x et limlnx/x=-00(+00*-00)(x tend vers 0plus) donc limf(x)=-00
(quand x tend vers +00)limf(x)=limx - 1 + 2 lnx/x et limlnx/x=0 donc limf(x)=+00
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maya1011
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MessageSujet: Re: Etude d'une fonction avec logarithme   Etude d'une fonction avec logarithme EmptyDim 03 Jan 2010, 18:45

J'ai compris la 2ème limite mais pas la 1ère
Est-ce que tu pourrais essayer d'être plus clair stp
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mehdibouayad20
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mehdibouayad20

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MessageSujet: Re: Etude d'une fonction avec logarithme   Etude d'une fonction avec logarithme EmptyDim 03 Jan 2010, 21:04

C'est simple .. Mais attention il fau éudier la lim sur 0+ et 0-
sur 0+ ça donne -oo et sur 0- ça donne +oo !
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hindou11
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hindou11

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MessageSujet: Re: Etude d'une fonction avec logarithme   Etude d'une fonction avec logarithme EmptyLun 04 Jan 2010, 12:51

faudra rectifier g(x)>0 sur ]0;+∞[
Ce qui est de f' elle est simple f'(x)=1+2((1-lnx)/x^2)=(x^2+2-2lnx)/x^2=g(x)/x^2.
2- limf(x)= -00 (forme deteminé)
3-limf(x)=+00
4-f est croissante sur ]0;+∞gt;0 de plus limx→0=-00 et limx→+00=+00
5-pour l'asymptote t'aura forcement un point Xo ! F'(Xo)(X-Xo) +F(Xo)


non ismail il ne s'agit pas de dérivée ici c'est l'asymptote oblique
donc faut calculer limite f+oo=+oo et lim f/x=1 et lim f-x=-1
et voila pas besoin d'équation de la tangeante ^^
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maya1011
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MessageSujet: Re: Etude d'une fonction avec logarithme   Etude d'une fonction avec logarithme EmptyLun 04 Jan 2010, 16:11

Ok merci j'ai tout refais et je pense avoir juste
Merci beaucoup pour votre aide =)[/img]
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Smaeiil.B
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Smaeiil.B

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MessageSujet: Re: Etude d'une fonction avec logarithme   Etude d'une fonction avec logarithme EmptyLun 04 Jan 2010, 20:29

Oei normal Hindou -_-'!Y avait pas marqué d'oblique au debut jcrois !
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mustapha_1024
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MessageSujet: Re: Etude d'une fonction avec logarithme   Etude d'une fonction avec logarithme EmptyMer 06 Jan 2010, 00:08

Tout d'abord comme g'(x)=2(x²-1)/x et x strictement positif alors g'(x) est du signe de x²-1, soit : g'(x) strct positif sur ]1,++[ et strict négatif sur ]0,1[.
et comme limite de g(x) qd x tend vers ++ est +l'infini et lim g(x) qd x tend vers 0+ est +l'infini et f(1)=3 , alors g(x) est sup ou égale à 3 pour tt x de ]0,++[; et par la suite g(x) est strictement positif pour tt x de ]0,++[.
pour la partie B:
f'(x) =g(x)/x² , et comme g(x) est strictement positif sur ]0,++[ alors f est strictement croissante sur cet intervalle.
la limite de f(x) qd x tend vers 0+ est égale à - l'infini car lim lnx/x est égale à la limite de 1/x multipliée par lim de ln(x) qd x tend vers 0+.
ainsi que lim de f(x) qd x tend vers +l'infini est + linfini car lim ln(x)/x est 0 qd x tend vers ++.
enfin pour prouver que la droite (D) d'equation y= x-1 est asymptote oblique il suffit de montrer que lim (f(x)-(x-1)) qd x tend vers ++ est égale à 0.
et comme f(x) - (x-1) = 2 ln(x)/x et lim ln(x)/x = 0 qd x tend vers ++ alors c'est prouvé.
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mustapha_1024
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MessageSujet: Re: Etude d'une fonction avec logarithme   Etude d'une fonction avec logarithme EmptyMer 06 Jan 2010, 00:29

pour la position de (D) et de Cf, il suffit d'étudier le signe de f(x)-(x-1) , soit le signe de 2ln(x)/x
comme x est strict positif alors le signe est celui de ln (x); càd,
f(x) - (x-1) = 0 pour x=1 et positif pour x sup à 1 et négatif pour x comprise entre 0 et 1.
conclusion: (D) rencontre Cf au point (1,0) ; Cf est au desous de (D) sur ]1,++[ et Cf au dessous de (D) sur ]0,1[.[/url][/b][/i][/u]
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misa san
Débutant


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MessageSujet: Re: Etude d'une fonction avec logarithme   Etude d'une fonction avec logarithme EmptyJeu 25 Fév 2010, 22:53

cette fonction était le sujet d'un test que j'ai passé cette année
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MessageSujet: Re: Etude d'une fonction avec logarithme   Etude d'une fonction avec logarithme Empty

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