Exercice Trigo

Sujet: Exercice Trigo Dim 03 Jan 2010, 21:36

Résoudre dans IR :

$\cos ^3x+\sin^3x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Dernière édition par nmo le Mer 05 Jan 2011, 17:11, édité 2 fois

Même je ne suis pas de ce niveau, j'ai essayé avec cet exercice.
Avant de commencer, je démontre ce que je vais utiliser:
En un premier temps:
On a $(\sin{x}+\cos{x})^2+(\sin{x}-\cos{x})^2=\sin^2{x}+2\sin{x}*\cos{x}+\cos^2{x}+\sin^2{x}-2\sin{x}*\cos{x}+\cos^2{x}$ .
Donc $(\sin{x}+\cos{x})^2+(\sin{x}-\cos{x})^2=\sin^2{x}+\cos^2{x}+\sin^2{x}+\cos^2{x}$ .
Donc $(\sin{x}+\cos{x})^2+(\sin{x}-\cos{x})^2=1+1$ .
Donc $(\sin{x}+\cos{x})^2+(\sin{x}-\cos{x})^2=2$ .==>(1)
Posons $\sin{x}+\cos{x}=a$ .
On a $\sin{x}+\cos{x}=a$ .
Donc $(\sin{x}+\cos{x})^2=a^2$ .
Donc $\sin^2{x}+2\sin{x}*\cos{x}+\cos^2{x}=a^2$ .
Donc $1+2\sin{x}*\cos{x}=a^2$ .
Donc $2\sin{x}*\cos{x}=a^2-1$ .
Donc $\sin{x}*\cos{x}=\frac{a^2-1}{2}$ .
D'autre part $\sin{x}+\cos{x}=a$ .
Donc $(\sin{x}+\cos{x})^3=a^3$ .
Donc $\sin{x}^3+\cos{x}^3+3\cos^2{x}*\sin{x}+3\sin^2{x}*\cos{x}=a^3$ .
Donc $\sin{x}^3+\cos{x}^3+3\cos{x}*\sin{x}(\cos{x}+\sin{x})=a^3$ .
Donc $\sin{x}^3+\cos{x}^3+3\frac{a^2-1}{2}*a=a^3$ .
Donc $\sin{x}^3+\cos{x}^3+3\frac{a^3-a}{2}=a^3$ .
Donc $\sin{x}^3+\cos{x}^3=a^3-3\frac{a^3-a}{2}$ .
Donc $\sin{x}^3+\cos{x}^3=a^3-\frac{3a^3-3a}{2}$ .
Donc $\sin{x}^3+\cos{x}^3=\frac{2a^3-3a^3+3a}{2}$ .
Donc $\sin{x}^3+\cos{x}^3=\frac{-a^3+3a}{2}$ .
Maintenant au travail:
On a $\sin^3{x}+\cos^3{x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Donc $\frac{-a^3+3a}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Donc $-a^3+3a=\sqrt{2}$ .
Donc $a^3-3a+\sqrt{2}=0$ .
Remarquons que $\sqrt{2}$ est une racine évidente.
La division euclidienne du polynôme $a^3-3a+\sqrt{2}=0$ sur $a-\sqrt{2}$ donne le polynôme $a^2+a\sqrt{2}-1$ .
On a $a^3-3a+\sqrt{2}=0$ .
Donc $(a-\sqrt{2})(a^2+a\sqrt{2}-1)=0$ .
Donc $a-\sqrt{2}=0$ ou $a^2+a\sqrt{2}-1=0$ .
Considérons le binôme $a-\sqrt{2}=0$ .
Qui s'annule si $a=\sqrt{2}$ .
Considérons le trinôme $a^2+a\sqrt{2}-1=0$ .
Ce trinôme a pour discriminent $\Delta=b^2-4ac$ .
Donc $\Delta=(\sqrt{2})^2-4*1*1$ .
Donc $\Delta=2+4$ .
Donc $\Delta=6$ .
Et il a pour solution $a_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $a_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ .
Donc $a_1=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2*1}$ et $a_2=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2*1}$ .
Donc $a_1=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$ et $a_2=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$ .
On a $a^3-3a+\sqrt{2}=0$ .
Donc $a=\sqrt{2}$ ou $a=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$ ou $a=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$ .
Soit $\sin{x}+\cos{x}=\sqrt{2}$ ou $\sin{x}+\cos{x}=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$ ou $\sin{x}+\cos{x}=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$ .
====Considérons l'équation $\sin{x}+\cos{x}=\sqrt{2}$ .
Et soit S1 l'ensemble de ses solutions, Utilisons 1:
Et puisque $\sin{x}+\cos{x}=\sqrt{2}$ .
Il vient que $(\sin{x}-\cos{x})^2+(\sqrt{2})^2=2$ .
Donc $(\sin{x}-\cos{x})^2+2=2$ .
Donc $(\sin{x}-\cos{x})^2=0$ .
Donc $\sin{x}-\cos{x}=0$ .
On conclut que résoudre en IR l'équation proposé n'est autre que résoudre le système:
$(S)\begin{cases}\sin{x}-\cos{x}=0\\\sin{x}+\cos{x}=\sqrt{2}\end{cases}$ .
Par addition des lignes, on trouve $2\sin{x}=\sqrt{2}$ .
Donc $\sin{x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Et par la suite $\cos{x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Le tableau des rapports usuels affirme que $x=\frac{\pi}{4}$ .
D'ou finalement $S1=\{\frac{\pi}{4}+2k\pi;k\in\mathbb{Z}\}$ .
====Considérons l'équation $\sin{x}+\cos{x}=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$ .
Et soit S2 l'ensemble de ses solutions, Utilisons 1:
Et puisque $\sin{x}+\cos{x}=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$ .
Il vient que $(\sin{x}-\cos{x})^2+(\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}})^2=2$ .
Donc $(\sin{x}-\cos{x})^2+(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}})^2=2$ .
Donc $(\sin{x}-\cos{x})^2+\frac{6+2\sqrt{12}+2}{4}=2$ .
Donc $(\sin{x}-\cos{x})^2+\frac{8+4\sqrt{3}}{4}=2$ .
Donc $(\sin{x}-\cos{x})^2+2+\sqrt{3}=2$ .
Donc $(\sin{x}-\cos{x})^2+\sqrt{3}=0$ .
Donc $(\sin{x}-\cos{x})^2=-\sqrt{3}$ .
Donc S2 est l'ensemble vide.
====Considérons l'équation $\sin{x}+\cos{x}=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$ .
Et soit S3 l'ensemble de ses solutions, Utilisons 1:
Et puisque $\sin{x}+\cos{x}=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$ .
Il vient que $(\sin{x}-\cos{x})^2+(\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}})^2=2$ .
Donc $(\sin{x}-\cos{x})^2+\frac{6-2\sqrt{12}+2}{4}=2$ .
Donc $(\sin{x}-\cos{x})^2+\frac{8-4\sqrt{3}}{4}=2$ .
Donc $(\sin{x}-\cos{x})^2+2-\sqrt{3}=2$ .
Donc $(\sin{x}-\cos{x})^2-\sqrt{3}=0$ .
Donc $(\sin{x}-\cos{x})^2=\sqrt{3}$ .
Donc $\sin{x}-\cos{x}=\sqrt{\sqrt{3}}$ ou $\sin{x}-\cos{x}=-\sqrt{\sqrt{3}}$ .
On conclut que résoudre en IR l'équation proposé n'est autre que résoudre les deux systèmes:
$(S)\begin{cases}\sin{x}-\cos{x}=\sqrt{\sqrt{3}}\\\sin{x}+\cos{x}=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\end{cases}$ et $(S')\begin{cases}\sin{x}-\cos{x}=-\sqrt{\sqrt{3}}\\\sin{x}+\cos{x}=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\end{cases}$ .
==Commençons par le système S.
Par addition des lignes, on trouve $2\sin{x}=\sqrt{\sqrt{3}}+\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$ .
Donc $2\sin{x}=\frac{2\sqrt{\sqrt{3}}-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$ .
Donc $\sin{x}=\frac{2\sqrt{\sqrt{3}}-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$ .
Et par la suite $\cos{x}=\frac{-2\sqrt{\sqrt{3}}-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$ .
Par une calculatrice, on obtient $\sin{x}\simeq0.91$ et $\cos{x}\simeq-0.39$ .
Soit $x\simeq113.52°$ .
==Maintenant le système S'.
Par addition des lignes, on trouve $2\sin{x}=-\sqrt{\sqrt{3}}+\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$ .
Donc $2\sin{x}=\frac{-2\sqrt{\sqrt{3}}-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$ .
Donc $\sin{x}=\frac{-2\sqrt{\sqrt{3}}-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$ .
Et par la suite $\cos{x}=\frac{+2\sqrt{\sqrt{3}}-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$ .
Par une calculatrice, on obtient $\cos{x}\simeq0.91$ et $\sin{x}\simeq-0.39$ .
Soit $x\simeq-23.52°$ .
Soit finalement $S3=\{-23.52°+k*360°;k\in\mathbb{Z}\}\cup\{113.52°+k*360°;k\in\mathbb{Z}\}$ .
La solution du système proposé au début est l'intersection de S1, S2, et S3.
Sauf erreur.
J'attends vos confirmation.

je ne sais pas si j'ai raison , mais je pense pas que tu peux mettre un angle en degres et mettre +2k(pi)

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