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 Intersction de GL_n(K) avec hyperplan

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4 participants
AuteurMessage
abdelbaki.attioui
Administrateur
abdelbaki.attioui


Masculin Nombre de messages : 2564
Localisation : maroc
Date d'inscription : 27/11/2005

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MessageSujet: Intersction de GL_n(K) avec hyperplan   Intersction de GL_n(K) avec hyperplan EmptyMar 13 Déc 2005, 21:24

Bonsoir,
Montrer que GL_n(IK) coupe tout hyperplan de M_n(IK). Où Gl_n(IK) est le groupe linéaire . et IK=IR ou C

A++ silent
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https://mathsmaroc.jeun.fr/
tµtµ
Maître



Nombre de messages : 195
Date d'inscription : 19/09/2005

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MessageSujet: Re: Intersction de GL_n(K) avec hyperplan   Intersction de GL_n(K) avec hyperplan EmptyJeu 15 Déc 2005, 17:34

Lemme (classique) :
Toute forme sur Mn(K) est de la "forme" Wink : M -> tr(AM) pour une matrice A donnée

Dém : c'est juste une histoire de dimension en montrant que tr(AM) = 0 pour tout M => A = 0 (prendre des M avec des 0 partout sauf un 1).

Un hyperplan est le noyau de M -> tr(AM), A != 0.
On veut trouver un M inversible tq tr(AM)=0.

On prend a_ij != 0 si i != j : M = I - A/tr(A)E_ij convient (E_ij : matrice nulle sauf en (i,j)=1)
sinon tous les éléments non diagonaux sont nuls et M peut être n'importe quelle matrice de permutation.


---------------
C'est plutot un exo d'algèbre non ?
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lolo
Maître



Nombre de messages : 91
Date d'inscription : 12/12/2005

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MessageSujet: Re: Intersction de GL_n(K) avec hyperplan   Intersction de GL_n(K) avec hyperplan EmptyVen 16 Déc 2005, 11:24

oui c'est de l'algèbre à moinsqu'on cherhche une solution d'analyse sur R ?
sinon la preuve de tutu fonctionne sur un corps arbitraire !

Autre question : remplacer hyperplan par sous espace de codimension <n .

lolo
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mathman
Modérateur



Masculin Nombre de messages : 967
Age : 35
Date d'inscription : 31/10/2005

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MessageSujet: Re: Intersction de GL_n(K) avec hyperplan   Intersction de GL_n(K) avec hyperplan EmptyVen 03 Nov 2006, 18:57

lolo a écrit:

Autre question : remplacer hyperplan par sous espace de codimension <n .
Ben les matrices avec 2 lignes égales forment un sous-espace de codim 2 et sont toutes non inversibles.
Hmm attends, pas vraiment.
Mais ça met une borne sur la codim.
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MessageSujet: Re: Intersction de GL_n(K) avec hyperplan   Intersction de GL_n(K) avec hyperplan Empty

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