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 Discusion du premier JOPSM;

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MessageSujet: Discusion du premier JOPSM;   Discusion du premier JOPSM; EmptyJeu 28 Jan 2010, 13:22

Ce topic est ouvert pour la discusion des Problèmes du premier JOPSM, la discusion est ouverte pour tout les forumistes. vous pouvez proposer vos solutions pour les dans ce topic; je posterai la mienne après dans ce topic; Bonne chance pour les prochains tours.le sujet est téléchargable depuis ce lien: http://img48.xooimage.com/files/7/3/f/jopsm-12-180c3af.pdf
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houssam110
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MessageSujet: Re: Discusion du premier JOPSM;   Discusion du premier JOPSM; EmptyJeu 28 Jan 2010, 13:55

bonjour.
Félécitations aux gagnants..
javé des occupations hier ...
je donne cke jé trouvé ..
1er exo ..
il suffit de tracer le point O le centre ABCD apres on fé un cercle don R=1 et le centre =O
silya un point dans le cercle kya la meme couleur de O ...
si tous les points du cercles sont de la meme couleur
il suffit de de tracer un triangle (motasawi sa9ayn )dans H telle que OH =1 et H £ (C)
de 1ere vue je vois ke pôur le 3eme exo il sagissé de voir ke linego est homogene vu ke f(a;b;c)=f(ka;kb;kc) apres on suppose a+b+c=1 c po sur mais c ke jé vu de 12-14h

jesper ke seré présent dans les prochains JOPSM
VIVA ALGERIE ^^
A+
A+
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majdouline
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MessageSujet: Re: Discusion du premier JOPSM;   Discusion du premier JOPSM; EmptyJeu 28 Jan 2010, 14:01

aussi.. je viens juste de voir ce topic.....et je trouve que c'est une très bonne idée cette compétition là^^
...je propose la solution du deuxième:
on a:
Discusion du premier JOPSM; Gif
alors m+1=3k(k£Z) ou m-1=3k'(k'£Z)
<=>m=3k-1 ou m=3k'+1
si m=3k-1 alors :
3n+1=(3k-1)²<=>3n=9k²-6k <=>n=3k²-2k<=>n+1=k²+k²+(k-1)²
si m=3k+1 alors :
3n+1=(3k+1)²<=>3n=9k²+6k <=>n=3k²+2k<=>n+1=k²+k²+(k+1)²
CQFD
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darkpseudo
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MessageSujet: Re: Discusion du premier JOPSM;   Discusion du premier JOPSM; EmptyJeu 28 Jan 2010, 15:11

XD j'aurai eu plus de chance si l'écriture Latex avais voulu marché !!
Enfin bon maintenant sa marche en attente du sujet de sylphaen !!
Merci Mohe pour le sujet ^^
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majdouline
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MessageSujet: Re: Discusion du premier JOPSM;   Discusion du premier JOPSM; EmptyJeu 28 Jan 2010, 16:15

voici ma laide solution pour l'inego ....
il est clair que les variables jouent un rôle symétriques ainsi on peut supposer que :a≥b≥c
(1)si a,b,c≥0 on a donc :
b≥b-c<=>b²≥(b-c)²
a≥a-c<=>a²≥(a-c)²
alors :Discusion du premier JOPSM; Gif
------------------------------------------------------------------------------
(2)si a,b,c≤0
on posant: a=-x et b=-y et c=-z (x,y,z>0)
on obtient une inégalité équivalente à (1) ..qui est déjà prouvée......
P.S.ça vient de l'homogénéisation car f(a,b,c)=f(-a,-b,-c) Wink
--------------------------------------------------------------------------------------
(3)maintenant si a>0 et b,c<0
l'inégalité est homogène ainsi on peut supposer que a+b+c>0
(car on peut donner à a+b+c une certaine valeur positive)
alors on a d'après C.S:
Discusion du premier JOPSM; Gif
il suffit donc de prouver que :
Discusion du premier JOPSM; Gif
ce qui est vrai car abc>0 et a+b+c>0 et par Schur on a ∑a(a-b)(a-c)≥0
CQFD
------------------------------------------------------------------------------
encore il me reste le cas où a,b>0 et c<0 je reviendrai après incha2llah pour terminer ma solution.....
avec cas d'égalité si
b=0 et a=-c...or la symétrie des rôles donne encore deux autres cas d'égalité Wink.....
@+
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Ayoub M-H
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MessageSujet: Re: Discusion du premier JOPSM;   Discusion du premier JOPSM; EmptyJeu 28 Jan 2010, 16:58

bSr !

1ére Exo : principe des tiroirs .
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Sylphaen
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MessageSujet: Re: Discusion du premier JOPSM;   Discusion du premier JOPSM; EmptyJeu 28 Jan 2010, 19:26

Pour l'inégo 1 voici ma soluce :
Si l'un des variables est nul l'inégalité est trivale ..
On suppose que abc≠0
L'inégo équivaut à :
Discusion du premier JOPSM; GifOn divise le tous par a²b²c² .
L'inégo équivaut à :
Discusion du premier JOPSM; GifPuis :
Discusion du premier JOPSM; GifOn pose :
x=(a-c )/b y=(a-b)/c z=(b-c)/a

L'inégo devient :
Discusion du premier JOPSM; Gif
Ce qui équivaut à :
x² - x ( 2yz) +y²+z²≥0
En effet le discriminant de l'équation :
x² - x ( 2yz) +y²+z²=0
est :
Dt= -4( y²+z²-yz)=-4( (y-1/2z)²+3/4z²) ≤0
Donc :
Pour tous x de IR on a : x² - x ( 2yz) +y²+z²≥0
CQFD
J'avais pas trouvé l'égalité ^^
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majdouline
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MessageSujet: Re: Discusion du premier JOPSM;   Discusion du premier JOPSM; EmptyJeu 28 Jan 2010, 19:43

Sylphaen a écrit:
Pour l'inégo 1 voici ma soluce :
Si l'un des variables est nul l'inégalité est trivale ..
On suppose que abc≠0
L'inégo équivaut à :
Discusion du premier JOPSM; GifOn divise le tous par a²b²c² .
L'inégo équivaut à :
Discusion du premier JOPSM; GifPuis :
Discusion du premier JOPSM; GifOn pose :
x=(a-c )/b y=(a-b)/c z=(b-c)/a

L'inégo devient :
Discusion du premier JOPSM; Gif
Ce qui équivaut à :
x² - x ( 2yz) +y²+z²≥0
En effet le discriminant de l'équation :
x² - x ( 2yz) +y²+z²=0
est :
Dt= -4( y²+z²-yz)=-4( (y-1/2z)²+3/4z²) ≤0

Donc :
Pour tous x de IR on a : x² - x ( 2yz) +y²+z²≥0
CQFD
J'avais pas trouvé l'égalité ^^
pour ce qui est en gars je crois que c'est
x=(a-c )/b.(a-b)/c y=(a-b)/c . (b-c)/a z=(b-c)/a.(a-c )/b
et puis je crois que ce qui est en rouge est faux..!!!!
car delta=4(y²z²-y²-z²) (P.S.delta=-4ac dans une équation du genre ax²+bx+c=0) et non pas ce que tu as trouvé ....ainsi tout en découle faux!!!!
c'est pour cela que t'as du prendre 2 / 7 c'est pas pour le cas d'égalité seulement Wink!!!!!!!
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Sylphaen
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MessageSujet: Re: Discusion du premier JOPSM;   Discusion du premier JOPSM; EmptyJeu 28 Jan 2010, 19:51

Oui je me suis précipité pour le changement de variable
Mais le delta est correcte
car :
4(y²z²-y²-z²)=-4(y²+z²-yz)
??
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majdouline
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MessageSujet: Re: Discusion du premier JOPSM;   Discusion du premier JOPSM; EmptyJeu 28 Jan 2010, 20:04

Sylphaen a écrit:
Oui je me suis précipité pour le changement de variable
Mais le delta est correcte
car :
4(y²z²-y²-z²)=-4(y²+z²-yz)
??
4(y²z²-y²-z²)=-4(y²+z²-yz)<=>4y²z²=4yz<=>yz=0 ou yz=1 crois tu ce que cela est correct!!!!?????? Neutral
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Sylphaen
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MessageSujet: Re: Discusion du premier JOPSM;   Discusion du premier JOPSM; EmptyJeu 28 Jan 2010, 20:11

Lol c'était une faute débile dsl .. Discusion du premier JOPSM; Confused
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MessageSujet: Re: Discusion du premier JOPSM;   Discusion du premier JOPSM; EmptyVen 29 Jan 2010, 07:37

Bonjour voici ce que j'ai trouvé pour l'inego
Discusion du premier JOPSM; 1264750799263
DSL je n'est pas completer j'essaye de factoriser la derniere expression
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MessageSujet: Re: Discusion du premier JOPSM;   Discusion du premier JOPSM; EmptyVen 29 Jan 2010, 11:34

joliiiiiii abdelllah
pour la dernière tu peux factoriser ainsi :
a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)=0
mais je crois pas que ça ne peut pas donner grand chose....
mais n'oublie pas qu'en changeant les variables t'as ignoré les cas où a=0 ou b=0 ou c=0 qui présentent également des cas d'égalité Wink....


Dernière édition par majdouline le Ven 29 Jan 2010, 14:16, édité 1 fois
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abdellah=einstein
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MessageSujet: Re: Discusion du premier JOPSM;   Discusion du premier JOPSM; EmptyVen 29 Jan 2010, 13:53

Bonsoir
Merci Majdouline
c'est aussi ce que j'ai fais.Et en essayant d'apliquer SCHUR j'ai trouvé que pas d'egalité si'il sont tous les trois des réels positifs(parce que a#b#c)
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MessageSujet: Re: Discusion du premier JOPSM;   Discusion du premier JOPSM; EmptyVen 29 Jan 2010, 15:53

Pour ne pas allourdir le forum avec bcp de sujets on crée ici toutes les discussions
DISCUSSION pour JOPSM2 proposé par sylphaen
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regulator
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MessageSujet: Re: Discusion du premier JOPSM;   Discusion du premier JOPSM; EmptyVen 29 Jan 2010, 20:38

salut!
par holder
(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)>=(1+1/r.c{1/xyz})^3>=4^3(AM-GM)=64.
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majdouline
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MessageSujet: Re: Discusion du premier JOPSM;   Discusion du premier JOPSM; EmptySam 30 Jan 2010, 09:56

suite aux demandes de quelques forumistes....voici la solution du deuxième sujet Wink:
j'ai pas pu faire le schéma ....j'ai des problème d'hébergement....
exercice 1:
1)-soit H le projeté orthogonal de C sur (AB)...
en considerant le triangle BCH qui est rectangle en H M le milier de [BC] alors MB=MC=MH ainsi MBH est isocèle en M donc:
Discusion du premier JOPSM; Gif
et:
Discusion du premier JOPSM; Gif(1)
en considérant le triangle AHC qui est rectangle en H on a :
Discusion du premier JOPSM; Gif
alors ACH est isocèle ==>HC=HA (a)
d'autre part on a :
Discusion du premier JOPSM; Gif
alors:Discusion du premier JOPSM; Gif(2)
en considérant le triangle HMC et depuis (1) et (2) on a :
Discusion du premier JOPSM; Gif
ainsi HCM est équilatéral d'où HM=HC et de (a) on a donc :
HM=HA ...alors en considérant le triangle HMA qui est isocèle en H on a :
Discusion du premier JOPSM; Gif
alors :
Discusion du premier JOPSM; Gif
et d'une autre part on a :
Discusion du premier JOPSM; Gif
2)-on a donc le deux triangle ABC et AMC sont isocèles car :
Discusion du premier JOPSM; Gif et un angle commun (l'angle C)
alors : Discusion du premier JOPSM; Gif
et on a :BC=2MC
Discusion du premier JOPSM; Gif
--------------------------------------------------------------------------------
exercice 2:
Discusion du premier JOPSM; Gif
or par Am-Gm on a :
Discusion du premier JOPSM; Gif (1)
et on a :
Discusion du premier JOPSM; Gif (2)
en sommant (1) et (2) on obtient l'inégalité désirée Smile ......
exercice3:
en remplaçant x par 1-x on a :
f[(1-x)²+(1-x)+3]+2f[(1-x)²-3(1-x)+5)=6(1-x)²-10(1-x)+17
<=>f(x²-3x+5)+2f(x²+x+3)=6x²-2x+13 (1)
<=>2f(x²-3x+5)+4f(x²+x+3)=12x²-4x+26 (1)
et on a : f(x²+x+3)+2f(x²-3x+5)=6x²-10x+17 (2)
(1)-(2)=3f(x²+x+3)=6x²+3x+9<=>f(x²+x+3)=2x²+2x+3
ainsi il suffit de résourde :
x²+x+3=85<=>x²+x-82=0
delta=1+4x82=329 alors :
Discusion du premier JOPSM; Gif
en vérifiant les deux cas on a :
Discusion du premier JOPSM; Gif
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Sylphaen
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MessageSujet: Re: Discusion du premier JOPSM;   Discusion du premier JOPSM; EmptySam 30 Jan 2010, 14:12

Pour le 3éme JOPSM .
Exo 1 :
On fait la récurrence et on vérifie pour n=3
1=1/2+1/3+1/6
On suppose qu'il existe p entier différent 2à2 tels que :
1/n_1+.....1/n_p=1
Et on montre qu'il existe p+1 entier différent 2à2 tels que :
1/n'_1+....1/n'_p+1=1
On a :
1/n_1+.....1/n_p=1 <=> 1/2( 1/n_1+.....1/n_p)+1/2=1
<=>1/2n_1+....1/2n_p +1/2=1
CQFD
Pour le 3 j'ai essayé mais pas terminé ><'
Voici ce que j'ai fait

L'inégo est homogène car f(a,b,c)=f(ka,kb,kc)
On suppose donc que a+b+c=1
L'inégo équivaut à :2(
Discusion du premier JOPSM; Gif
Discusion du premier JOPSM; Gif
On pose x=a²+b²+c² et y=ab+ac+bc
on a x+2y=1
L'inégo équivaut :
Discusion du premier JOPSM; Gif
Discusion du premier JOPSM; Gif
Discusion du premier JOPSM; Gif
Discusion du premier JOPSM; Gif.latex?2xy%5E%7B2%7D%5Cgeq%20y%5E%7B2%7D+2xabc+yabc%5CLeftrightarrow%202x%28%5Cfrac%7B1-x%7D%7B2%7D%29%5E%7B2%7D%5Cgeq%20%28%5Cfrac%7B1-x%7D%7B2%7D%29%5E%7B2%7D+2xabc+%28%5Cfrac%7B1-x%7D%7B2%7D%29

Discusion du premier JOPSM; Gif
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MessageSujet: Re: Discusion du premier JOPSM;   Discusion du premier JOPSM; EmptySam 30 Jan 2010, 22:54

bonsoir
svp c quoi la réponse du jopsm 1 de l exo 1 svp?








merci.
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MessageSujet: Re: Discusion du premier JOPSM;   Discusion du premier JOPSM; EmptyDim 31 Jan 2010, 10:17

bonjour voici ma solution pour l inego j espere que ca soit juste...

probleme 3:
Discusion du premier JOPSM; 100130011104354216
IL suffit de prouver:
Discusion du premier JOPSM; 100130011606907514
puisque (a²+b²+c²>=ab+bc+ac).
posant a+c+b=p et ab+bc+ac=q et abc=r...donc l'inegalite est equivalente à:
Discusion du premier JOPSM; 100130012141189057.
on a:
Discusion du premier JOPSM; 10013001244331584
et par AM-GM:
Discusion du premier JOPSM; 100130012750190539... Rolling Eyes
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majdouline
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MessageSujet: Re: Discusion du premier JOPSM;   Discusion du premier JOPSM; EmptyDim 31 Jan 2010, 11:34

bonjour^^
mais je n'arrive pas à comprendre ...si delta>=0 et alors??? ça ne prouve rien...je sais pas mais peut être que tu dois terminer ...pour trouver que f(q)=2q²+3pr-p²q>0
pourtant je propose ceci.....
l'inégalité est homogène alors supposer que a+b+c=1....en prenant abc=r et ab+bc+ca=q
l'inégalité est donc équivalente à:q²(1-4q)+(2-3q)r≥0
par Schur on a :1-4q≥-9abc
alors il suffit de prouver que -9q².r+(2-3q)r≥0
<=>r(1-3q)(2+3q)≥0 ce qui est clairement vrai Wink
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MessageSujet: Re: Discusion du premier JOPSM;   Discusion du premier JOPSM; EmptyDim 31 Jan 2010, 12:04

salut!
donne moi un contre exemple stp car j vois pas ou est la faute!
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majdouline
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MessageSujet: Re: Discusion du premier JOPSM;   Discusion du premier JOPSM; EmptyDim 31 Jan 2010, 12:08

j'ai pas dit que c faux...enfin je peux pas juger...mais ça ne prouve rien ...car le fait de trouver que delta>=0.===>f(q) varie sur IR...positive si q£]-00,q1]U[q2,+00[....et négative si q£[q1,q2]...(avec q1 et q2 les racines de f(q)..........bref:tu dois prouver que q£]-00,q1]U[q2,+00[...ainsi ça sera correct...
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Sylphaen
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MessageSujet: Re: Discusion du premier JOPSM;   Discusion du premier JOPSM; EmptyDim 31 Jan 2010, 22:47

Je propose ma solution Pour l'exo 3 de JOPSM 4 :
On f(0)= 0 ou f(0)=1 et f(1)=0 ou f(1)=1
Donc f(0)=0 et f(1)=1 car la fonction est strictement croissante
On a clairement :
f(2^n)=f(2)xf(2)...xf(2) nfois = 2^n
f(2^n+1)=2^n+1
Pour tous n>=1 et qui n'est po une puissance de 2 il existe un m tels que
2^m<2^m+1
donc Puisque la fonction est strictement croissante
f(2^m)
2^m
Et donc :
2^m<...<....<2^(m+1)
Puisque la fonction est strictement croissante :
f(2^m+1)≥2^m +1
f(2^m+2)≥2^m + 2>2^m+1
...................................
2^(m+1)>f(2^m -1)≥2^m-1

Donc :
f(2^m-1)=2^m-1
f(2^m-2)=2^m-2
.....................
On conclue que f(n)=n


Pour l'exo 3 on considère le repère orthonormé (C,CD,CA)
Alors les cordonnés des points seront :
A(0,1)
E(V3/2,1/2)
F(1/2,1+V3/2)
Les cordonné des vecteurs :
Vec EA (V3/2,-1/2)
Vec AF (-1/2,-V3/2)
Et par conséquent les 2vecteurs sont colinéaire d'où la conclusions ..
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Sylphaen
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MessageSujet: Re: Discusion du premier JOPSM;   Discusion du premier JOPSM; EmptyLun 01 Fév 2010, 10:37

Pour l'exo 2 de Just-Abdess j'ai trouvé que <ABC=45°
Et on a :
D'après les loi de sinus :
Dans ABC
AC/sin<ABC=BC/Sin<CAB
BC=AC. Sin<CAB/SinABC=12 V2. Sin129°=12V2 Cos 39°
Dans ABD
AD/SinABD=BD/sinDAB
AD= BD . SinABD/SinDAB=6V2.cos39° . V2/2 / Sin 51°
On a Sin51=cos(90-51)=cos39
Donc
BD = 6
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