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 easy but nice...

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regulator
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MessageSujet: easy but nice...   easy but nice... EmptyMer 03 Fév 2010, 14:23

a,b,c>0...
prouvez que:

easy but nice... 100203032102471765
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majdouline
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majdouline

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MessageSujet: Re: easy but nice...   easy but nice... EmptyMer 03 Fév 2010, 14:38

donc supposons que a+b+c=1(homogénéité)
l'inégalité est équivalente à:
easy but nice... Gif
easy but nice... >
easy but nice... Gif
prouvons que :
easy but nice... Gif
cela équivaut à :
easy but nice... Gif
remarquons que 1/3 est une double racine et hop!!on obtient la factorisation:
easy but nice... Gif
ce qui est vrai...on a donc:
easy but nice... Gif
CQFD.....


Dernière édition par majdouline le Jeu 04 Fév 2010, 18:08, édité 3 fois
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regulator
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MessageSujet: Re: easy but nice...   easy but nice... EmptyMer 03 Fév 2010, 14:58

oui c ca^^...j'ai fé la meme preuve.
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: easy but nice...   easy but nice... EmptyMer 03 Fév 2010, 15:43

majdouline a écrit:

or :
easy but nice... Gif
alors:
easy but nice... Gif
En passant de easy but nice... Gif à easy but nice... Gif, le signe devrait s'inverser.
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majdouline
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MessageSujet: Re: easy but nice...   easy but nice... EmptyMer 03 Fév 2010, 16:52

bien vu Dijkschneier Wink
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Thalès
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MessageSujet: Re: easy but nice...   easy but nice... EmptyMer 03 Fév 2010, 16:58

En effet, d'après ta solution Majdouline il suffit de prouver que : 1/1+2(a²+b²+c²)>3/5
<=> 1/3 > a²+b²+c² (alors que c totalement le contraire qui est vrai)
Donc il faut procéder autrement.
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Thalès
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MessageSujet: Re: easy but nice...   easy but nice... EmptyMer 03 Fév 2010, 18:04

Sinon je pense que c'est faisable aisément en utilisant Jensen en considérant la fonction : f(x)=(1-2x)²/(1+2x²-2x) :
f(a)+f(b)+f(c)>= 3 f((a+b+c)/3)= 3/5
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reda-t
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MessageSujet: Re: easy but nice...   easy but nice... EmptyMer 03 Fév 2010, 18:12

oui c'est la celebre inegalité du japon 97, by the way je vous propose une inegalité assez facile:

prouver que pour chaque quadrilatère avec des cotes a,b,c,d

a²+b²+c² > d²/3
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Thalès
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MessageSujet: Re: easy but nice...   easy but nice... EmptyMer 03 Fév 2010, 18:18

3(a²+b²+c²)>= (a+b+c)², et on aura forcément d<a+b+c d'où le résultat
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majdouline
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MessageSujet: Re: easy but nice...   easy but nice... EmptyMer 03 Fév 2010, 22:50

re^^...voilà je viens de corriger...voir mon récent message Wink
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: easy but nice...   easy but nice... EmptyJeu 04 Fév 2010, 11:19

Thalès a écrit:
et on aura forcément d<a+b+c
Pourquoi ? Embarassed
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reda-t
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MessageSujet: Re: easy but nice...   easy but nice... EmptyJeu 04 Fév 2010, 12:24

Dijkschneier a écrit:
Thalès a écrit:
et on aura forcément d<a+b+c
Pourquoi ? Embarassed

il est évident que dans chaque quadrilatère on a: a+b+c>d càd (a+b+d)²>d² ==> 3(a²+b²+c²)>d²
cqfd Wink
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Thalès
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MessageSujet: Re: easy but nice...   easy but nice... EmptyJeu 04 Fév 2010, 15:16

Dijkschneier a écrit:
Thalès a écrit:
et on aura forcément d<a+b+c
Pourquoi ? Embarassed

C'est très élémentaire et facile à prouver à partir de l'inégalité triangulaire :
Prends ABCD un quadrilatère et pose : a=AB ; b=AD ; c=BC ; d=DC
et pose aussi : BD=K
Dans le triangle ABD : a+b>K => a+b+c>K+c
Dans le triangle BCD : K+c>d
donc a+b+c>d
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MessageSujet: Re: easy but nice...   easy but nice... EmptyJeu 04 Fév 2010, 17:28

majdouline a écrit:

prouvons que :
easy but nice... Gif
cela équivaut à :
easy but nice... Gif
C'est plutôt -54 Smile
Sinon jolie la solution !
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: easy but nice...   easy but nice... EmptyJeu 04 Fév 2010, 21:08

Thalès a écrit:

C'est très élémentaire et facile à prouver à partir de l'inégalité triangulaire :
Prends ABCD un quadrilatère et pose : a=AB ; b=AD ; c=BC ; d=DC
et pose aussi : BD=K
Dans le triangle ABD : a+b>K => a+b+c>K+c
Dans le triangle BCD : K+c>d
donc a+b+c>d
Merci bien !
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MessageSujet: Re: easy but nice...   easy but nice... EmptySam 03 Avr 2010, 21:34

Thalès a écrit:
Sinon je pense que c'est faisable aisément en utilisant Jensen en considérant la fonction : f(x)=(1-2x)²/(1+2x²-2x) :
f(a)+f(b)+f(c)>= 3 f((a+b+c)/3)= 3/5
bonsoir c'est le lien de Majdouline dans le JOPSM qui m'a ramené ici
juste pour corriger f(x) n'est pas convexe sur [0,1]!
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Thalès
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MessageSujet: Re: easy but nice...   easy but nice... EmptyJeu 08 Avr 2010, 21:07

Oui pourque ça soit une contradiction il faut que les trois variables a,b et c soient dans l'intervalle : [1/2-V3/6;1/2+V3/6] (sauf erreur d'après la seconde dérivée)


Dernière édition par Thalès le Sam 10 Avr 2010, 12:54, édité 2 fois
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imanos
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MessageSujet: Re: easy but nice...   easy but nice... EmptySam 10 Avr 2010, 00:32

Bonsoir
sa se voit que la fonction n'est pas convexe essaye de tracer sa dérivée dans un logiciel pour comprendre
en + on aura jamais une contradiction car on a déja une condition sinn toutes les inégalités seront résolus par JENSEN
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.
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MessageSujet: Re: easy but nice...   easy but nice... EmptyVen 16 Juil 2010, 15:14

imanos a écrit:
Bonsoir
sa se voit que la fonction n'est pas convexe essaye de tracer sa dérivée dans un logiciel pour comprendre
en + on aura jamais une contradiction car on a déja une condition sinn toutes les inégalités seront résolus par JENSEN

Non cette fonction est convexe ( Sans penser à sa seconde dérivée )

On a f(0)=1 , f(1/2)=0 et f(1)=1
Juste imagine sa courbe représentative puisque f est dérivable ( donc continue ) sur [0,1].
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