L'union de deux sous-groupes

montrer que L'union de deux sous-groupes est un groupe si et seulement si l'un est inclus dans l'autre

Très facile ... Vous procédez par l'absurde je peux poster la Sol !

alloirat a écrit:

montrer que L'union de deux sous-groupes est un groupe si et seulement si l'un est inclus dans l'autre

BSR alloirat !!!
Si {G;T} est un groupe de référence et si H1 et H2 sont deux sous-groupes de G alors qu'en est-il de
{H1 union H2} pour la structure de groupe ????

Tout fonctionne ..... SAUF la STABILITE :
Si a est dans H1 et b dans H2 on ne sait pas toujours ou se trouve aTb ??
Par exemple , tu prends H1=2.Z et H2=3.Z sous-groupes de {Z;+}
Il est clair que a=2 est dans H1 et b=3 est dans H2
mais aTb=2+3=5 est ni dans H1 , ni dans H2 .

C'est la condition H1 et H2 emboîtés qui fait que la stabilité est vérifiée !!

Pour la démo , elle est ta portée ......

LHASSANE

soient D et E deux sous-groupes de G.
Suppose que D n'est pas inclus dans E et E non plus, et trouve une contradiction en exprimant ce qui precede par des éléments!
P.S: On peut étendre cette propriété aux espaces vectorielles.

Exactement n.naoufal C'est valable aussi pour les espaces vectoriels !!
Je propose Quand même une Démo :

⇒) Supposons que H1UH2 est un sg de (G,.)
et que H2C/H1 et H1C/H2
soit x £ H2/H1 et y £ H1/H2
x £ H1UH2 et y £ H1UH2
or H1UH2 est un sg
dc x.(y^-1) £ H1UH2

*Si x.(y^-1) £H1
x.(y^-1).y £H1
x £ H1 Absurde

*Si x.(y^-1) £ H1
(x^-1).x.(y^-1) £ H2
y^-1 £ H2
y £ H2 Absurde Cqfd


Pour la deuxième implication ;
Supposons que H1CH2 ou H2CH1
alors H1UH2=H2 ou H2UH2=H1
alors dans les deux cas :
H1UH2 est un sous-groupe de G

merci les amis