Distance au groupe orthogonal

Bonsoir,
Montrer que pour tout M de M_n(IR), on a :
d(M,O(n))² = || racine(tM M))-I||
où I est la matice unité , tm est la transposée de M et || M ||²= Tr(tMM)

AA+

Juste une question:
Le membre de gauche est le carré de la distance de M à l'ensemble des matrices orthogonales, non?
Donc, dans le membre de droite, est-ce qu'on ne devrait pas avoir le carré de la norme?

Bonjour;
Oui mathman je crois que abdelbaki a voulu plutôt écrire
d(M,O(n))=||Racine(tMM) - I||
La matrice tMM étant symétrique positive elle est diagonalisable (dans une base orthonormée) et à valeurs propres
réelles positives.Soit alors (f1,..,fn) une telle base et a1,..,an les valeurs propres en question.
Il est facile de voir que pour tout i=1,..,n
||Mfi||=Racine(ai) (où le symbole ||.|| désigne la norme euclidienne de Rn)
Ainsi si Q est un élément quelconque de O(n) on peut écrire,
Somme(i=1,..,n) (Racine(ai)-1)²=Somme(i=1,..,n) (||Mfi||-1)²=Somme(i=1,..,n) (||Mfi||-||Qfi||)²
il est clair que cette somme est inférieure ou égale à la somme,
Somme(i=1,..,n) ||Mfi-Qfi||²=Somme(i=1,..,n) ||(M-Q)fi||²
et il est facile de voir que cette dernière somme n'est autre que ||M-Q||²
(où le symbole ||.|| désigne la norme euclidienne de Mn(R) c'est à dire que ||M-Q||²=trace(t(M-Q)(M-Q)) )
On vient ainsi de prouver que la somme Somme(i=1,..,n) (Racine(ai)-1)²
est inférieure ou égale à d²(M,O(n))
Soit maintenant P la matrice orthogonale diagonalisant tMM on sait que
tMM=tP.Diag(ai).P=(tP.Diag(racine(ai)).P)² et donc
Racine(tMM)=tP.Diag(racine(ai)).P et on voit que
||Racine(tMM)-I||²=||tP.(Diag(racine(ai))-I).P||²=||Diag(racine(ai))-I||²=Somme(i=1,..,n) (Racine(ai)-1)²

à suivre

J'ai prouvé donc dans mon message ci dessus que
||Racine(tMM)-I|| ( inférieure ou égale à ) d(M,O(n))
Prouvons l'autre inégalité:
(*)Supposons dans un premier temps que M est inversible
je dis alors que la famille B=( (1/racine(ai))Mfi)i est une base orthonormée de Rn ( facile à vérifier )
si Q est la matrice de passage de la base B à la base (f1,..,fn) il est clair que Q est orthogonale
et que pour tout i=1,..,n Qfi=(1/racine(ai))Mfi et il est facile de vérifier que
||M-Q||²=Somme(i=1,..,n) (racine(ai)-1)²
(*)Si M n'est pas inversible on peut toujours compléter les fi tels que les vecteurs Mfi sont non nuls
( c'est à dire tels que les ai sont non nuls ) en une base orthonormée B
puis procéder exactement comme dans le cas M inversible pour determiner la matrice orthogonale Q.