Logarithme néperien

lùù tt le monde

exo 1 :
1. soit a et b deux éléments de IR+* tel que : a<b et n un élément de IN*
montrez que
(1+n).a^n < (b^(n+1)-a^(n+1))/(b-a) < (1+n).b^n
2. déduire que pour tout n de IN* :
(1+(1/n))^(n+1) > (1+1/(n+1))^(n+2)
et que : (1+1/n)^n < (1+1/(n+1))^(n+1)

exo2 :
calculez la limite :
lim (x--> +00) [x. Ln((Ln(x+1))/(Ln(x)))]

merci

salam

exo1
1) f(x) = x^(n+1)

Th. Acc. Finis

[f(b) - f(a)] / (b-a) = f '(c) = (n+1).c^n

comme a< c< b ====> cqfd

.........

... comment déduire ?
merci

last knight a écrit:

lùù tt le monde
......
1. soit a et b deux éléments de IR+* tel que : a<b et n un élément de IN*
montrez que
(1+n).a^n < (b^(n+1)-a^(n+1))/(b-a) < (1+n).b^n
2. déduire que pour tout n de IN* :
(1+(1/n))^(n+1) > (1+1/(n+1))^(n+2) ....

BSR last knight !!
S'agissant d'une déduction , il me semble tout à fait approprié de partir de l'inégalité suivante :
(1+n).a^n + a^(n+1) < (b^(n+1)
En choisissant a=1+(1/n+1) et b=1+(1/n)
puis continuer à MINORER l'expression à DROITE ....
Est ce que (1+n).a^n + a^(n+1) >=a^(n+2)
c'est à dire en simplifiant par a^n
Est ce que (1+n) + a >=a^2
ou 1+n > a.(a-1)=(n+2)/(n+1)^2 ou (n+1)^3 >n+2 .....

Je pense que celà est VRAI .... dès que n>=1

LHASSANE

merci bien a vous monsieur
vous pouvez svp m'aider pour la limite ?

last knight a écrit:

lùù tt le monde ?.....
exo2 :
calculez la limite :
lim (x--> +00) [x. Ln((Ln(x+1))/(Ln(x))] .....

BSR last knight !!

Je veux bien essayer .... Mais il y a une incohérence dans ton écriture !
L'expression au niveau des [ ] pas de pb
mais pour les parenthèses , je compte
CINQ parenthèses OUVRANTES
mais
QUATRE parenthèses FERMANTES ???? !!!!!

Si tu veux bien vérifier et corriger car une parenthèses en plus ou en moins peut complètement changer le sens de l'expression ....

LHASSANE

salut last knight
pour la limite :
premièrement remarque que :
limite Ln(x+1)/Ln(x)=1
donc limite Ln(Ln(x+1)/Ln(x))/[(Ln(x+1)/Ln(x))-1] =1
donc il nous reste juste calculer la limite de x.[(Ln(x+1)/Ln(x))-1]
on a x.[(Ln(x+1)/Ln(x))-1]=x.[Ln(1+1/x)/Ln(x)]
=[Ln(1+1/x)/(1/x)].1/Ln(x) ---> +00 qd x--->+00
alors ton limite equivalent au produit de la première et la deuxième limite
donc la limite egale: +00