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 Exercice:

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nmo
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Masculin Nombre de messages : 2223
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MessageSujet: Exercice:   Sam 13 Fév 2010, 18:41

Montrez que les nombres suivants sont positifs quelque soit x et y de IR:
1-x^2+xy+y^2.
2-x^2-xy+y^2.
Bonne chance.
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Math=life
Maître


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MessageSujet: Re: Exercice:   Dim 14 Fév 2010, 11:21

c faux;
il sufit de remarquer que :
1-5^2+5*(1/10)+(1/10)^2 n'est pas posirtif
ainsi que: 2-5^2+5*(1/10)+(1/10)^2
Smile
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houssam110
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Masculin Nombre de messages : 860
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MessageSujet: Re: Exercice:   Dim 14 Fév 2010, 11:42

Ta pas bien vu maths=life ...
x²+xy+y² =(x^3-y^3)/(x-y) or x-y et x^3-y^3 ont le meme signe ...
aussi
x²+y²-xy=(x^3+y^3)/(x+y) ... CQFD
A+
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nmo
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MessageSujet: Re: Exercice:   Dim 14 Fév 2010, 17:34

Voilà ce que j'ai fait:
Pour le premier nombre:
Posons A=x²+xy+y².
On a A=x²+xy+y².
Donc 2A=2(x²+xy+y²).
Donc 2A=2x²+2xy+2y².
Donc 2A=x²+2xy+y²+x²+y².
Donc 2A=(x+y)²+x²+y².
D'autre part, on (x+y)²>=0, x²>=0, et y²>=0.
Ce qui veut dire (x+y)²+x²+y²>=0.
Soit en résumé 2A>=0.
Finalement A>=0.
Pour le second nombre
Posons B=x²+xy+y².
On a B=x²-xy+y².
Donc 2B=2(x²-xy+y²).
Donc 2B=2x²-2xy+2y².
Donc 2B=x²-2xy+y²+x²+y².
Donc 2B=(x-y)²+x²+y².
D'autre part, on (x-y)²>=0, x²>=0, et y²>=0.
Ce qui veut dire (x-y)²+x²+y²>=0.
Soit en résumé 2B>=0.
Finalement B>=0.
P.S: Ta solution houssam110 est juste.


Dernière édition par nmo le Jeu 13 Mai 2010, 19:03, édité 1 fois
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nmo
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MessageSujet: Re: Exercice:   Jeu 13 Mai 2010, 19:02

Une deuxième solution:
Pour le premier nombre:
Posons: A=x^2+xy+y^2.
On a A=x²+2*1/2y*x+1/4y²-1/4y²+y².
Donc A=(x+1/2y)²+3/4y².
Et puisque (x+1/2y)²>=0 et 3/4y²>=0.
Il s'ensuit que (x+1/2y)²+3/4y²>=0.
Donc A>=0.
Pour le second nombre
Posons B=x²-xy+y².
On a B=x²-2*1/2y*x+1/4y²-1/4y²+y².
Donc B=(x-1/2y)²+3/4y².
Et puisque (x-1/2y)²>=0 et 3/4y²>=0.
Il s'ensuit que (x-1/2y)²+3/4y²>=0.
Donc B>=0.
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