joli !

Trouver tous les polynômes P de degré impair tels que pour tout réel x,

P(x²)=P(x)P(x-1)

Puisque le degré de P est impair alors P a au moins une racine réelle, soit a
on a alors P(a^(2^k))=0 pour tout entiers k>=0
donc |a|=1 sinon on aurait une infinité de racines => P = 0 : absurde
donc a = 1 ou a = -1
si a = -1 alors P(1) = P(-1)P(-2) = 0 donc dans tous les cas 1 est une racine de P
Nous pouvons maintenant écrire P = (X-1)Q (Q polynôme)
notre équation se réécrit : (X²-1)Q(X²) = (X-1)(X-2)Q(X)Q(X-1)
on en déduit que Q(4) = 0 = P(4) donc P(4^(2^k)) = 0 pour tout k => infinité de racines=> P = 0 absurde

conclusion : il n'existe pas de polynôme de degré impaire vérifiant l'identité demandée !
Maintenant qu'est ce qu'il en est lorsque le degré de P est pair :p

MohE a écrit:

la condition, deg{P}=impaire, n'est pas necessaire.
P(x²)=P(x).P(x-1), supposons que deg{P}>0. soit a une racine de P,
P(a)=0=> P(a²)=0 => P(a^4)=0 => Vn£IN P(a^{2n})=0
=> une infinité de racine, Absurde! d'ou P est constant, ainsi, P=P²=> P(x)=1 ou P(x)=0,

bonjour,
la condition P est un polynôme de degré impair impair est nécessaire ;cette condition là qui permet de dire que P a au moins une racine réelle,sinon on ne peut pas considérer a une racine puisqu'on ne peut pas prouver son existence si P est un polynôme quelconque ,mais s'il est impair=>P a au moins une racine réelle

Tu as bien raisonné MohE mais tu dois prendre ta racine a dans C car comme a dis noirouge si le degré est pair rien ne te garantie que tu auras une racine réelle ( P = X²+1)
Par contre tu peux adapter la démonstration pour une racine complexe : on pourra montrer que cette racine a est une racine de l'unité pour conclure

noirouge a écrit:

MohE a écrit:

la condition, deg{P}=impaire, n'est pas necessaire.
P(x²)=P(x).P(x-1), supposons que deg{P}>0. soit a une racine de P,
P(a)=0=> P(a²)=0 => P(a^4)=0 => Vn£IN P(a^{2n})=0
=> une infinité de racine, Absurde! d'ou P est constant, ainsi, P=P²=> P(x)=1 ou P(x)=0,

bonjour,
la condition P est un polynôme de degré impair impair est nécessaire ;cette condition là qui permet de dire que P a au moins une racine réelle,sinon on ne peut pas considérer a une racine puisqu'on ne peut pas prouver son existence si P est un polynôme quelconque ,mais s'il est impair=>P a au moins une racine réelle

Bonsoir! merci pour ta remarque, mais si je ne me trompe pas, tu n'as pas très bien compris ce que j'ai fais, c'est de ma faute en tout cas, j'avais cour, et j'ai redigé brievement. Bon! Dans un premier temps, j'indique que ma solution consiste à trouver tout les polynomes qui verifient la relation (cas générale), moi, j'ai utilisé le raisonement par l'absurde, avant ce que tu as réecrit en rouge, tu peux lire que j'ai supposé que deg{P}>0, et puis après, j'ai aboutit à une contradiction, pour en conclure que P est constant. J'espère que vous m'aviez compris.

@noirouge, je m'excuse de ne pas t'envoyer la solution du problème, je suis très occupé ces derniers temps, je te l'envoyerai ce week-end.

MohE a écrit:

la condition, deg{P}=impaire, n'est pas necessaire.
P(x²)=P(x).P(x-1), supposons que deg{P}>0. soit a une racine de P,
P(a)=0=> P(a²)=0 => P(a^4)=0 => Vn£IN P(a^{2n})=0
=> une infinité de racine, Absurde!

Si |a]=1, le polynôme n'aurait pas nécessairement une infinité de solutions, comme l'a fait remarquer Aliaz03 dans sa première solution. Il faut donc étudier ce cas, également.
Ensuite, si un polynôme P arbitraire ne possède pas de racine réelle, il n'est pas nécessairement un polynôme constant.

Ce que tu dis MohE n'est pas toujours vraie ! voila pourquoi :

1/Un polynôme de degré pair n'a pas forcement de racines réelles !!!

2/Si par contre tu prends ta racine dans C alors tu dois encore affiner ton raisonnement car si par malchance (ou par chance) a=1, alors
a^(2^n) = 1 et tu n'as plus une infinité de racines !!!

J'espère que tu vois ou est le problème

effectivement Aliaz03...c'est ce que j'ai essayé de dire.....on ne peut pas considérer une racine si on ne peut pas prouver son existence ...qui dit par exemple qu'il s'agit d'un polynôme qui n'a pas de racines réelles???!!!
la condition P est de degré impair implique que P a forcement au moins une racine réelle ce qui permet la considération (soit a une racine réelle de P....)

Je suis d'accord noirouge. Ce que j'essaie de dire c'est que le problème peut être résolu dans le cas complexe. Voila la démonstration :

Si P est constant alors P = 0 ou 1.
Sinon
Soit a une racine complexe de P. Si |a| != 1 (différent) on aura une infinité de racines, donc P = 0 (contradiction : on a supposé P non constant)
Donc toute racine de P est de module 1. Or si a est racine, alors (a+1)² l'est aussi sauf que cette racine n'est pas de module 1. Contradiction

Conclusion P est constant = 0 ou 1.
voila

Ps : J'ai parlé de racine de l'unité plus haut mais je l'ai pas utilisé en fin de compte.

Aliaz03 a écrit:

Je suis d'accord noirouge. Ce que j'essaie de dire c'est que le problème peut être résolu dans le cas complexe. Voila la démonstration :

Si P est constant alors P = 0 ou 1.
Sinon
Soit a une racine complexe de P. Si |a| != 1 (différent) on aura une infinité de racines, donc P = 0 (contradiction : on a supposé P non constant)
Donc toute racine de P est de module 1. Or si a est racine, alors (a+1)² l'est aussi sauf que cette racine n'est pas de module 1. Contradiction

Conclusion P est constant = 0 ou 1.
voila

Ps : J'ai parlé de racine de l'unité plus haut mais je l'ai pas utilisé en fin de compte.

Ceci est malheurement faux.
Il est possible d'avoir un complexe z de module 1 tel que (z+1)^2 soit aussi de module 1.

Et d'ailleurs, il y a des solutions non constantes avec degré pair :

P(x)=(x^2+x+1)^n

C'est vrai ! J'ai pas accordé d'attention a vérifier ce fait.

En effet les seul nombres vérifiant |a|=|a-1|=1 sont j et 1/j
(j = 1/2+irc(3)/2)
donc si P n'est pas constant ses seuls racines sont j et 1/j
Donc P = (X-j)^n * (X-1/j)^m
Si on veut que P soit a coefficients réels, il faut que n = m et on obtient P = (X²+X+1)^n (c'est famille de Polynôme est bien solution comme l'a dit nemo )

PS : même dan C c'est les seuls Polynôme qui vérifient l'équation.

Merci nemo