suite extraite de fonctions

Bonsoir
Soit (f_n)_n une suite de fonctions croissantes d’un intervalle ouvert non vide I de IR à valeurs dans IR telle que, pour tout x de I, la suite (f_n(x)) soit bornée. Alors on peut extraire une sous-suite (g_n) de (f_n) telle que, pour tout x de I, la suite (g_n(x)) soit convergente.

AA+

Bon, il faut encore que je réfléchisse : l'idée (je pense et j'espère) est de considérer l'ensemble Q union les discontinuités de f_1, f_2,... (qui est dénombrable par croissance des trucs) et d'extraire une sous-suite (procédé diagonal, classique) qui converge simplement sur cet ensemble.
Mais je n'arrive pas à démontrer qu'il va converger aussi sur les irrationnels...

mathman a écrit:

Mais je n'arrive pas à démontrer qu'il va converger aussi sur les irrationnels...

Bon, en effet on dirait que ça ne doit pas forcément être le cas.

Mais ça peut se produire seulement pour un nombre de points dénombrable je crois.
Alors on peut utiliser l'argument de diagonalisation encore une fois ce qui nous donne le résultat.
(la dénombrabilité est censée découler du fait qu'une fonction croissante a au plus un nombre dénombrable de discontinuités)

C'est des flashs de la démonstration. Peux-tu donner la suite g_n?

Ben on a les points x_1,x_2,... et pour chacun des points x_i une suite n_{i1},n_{i2},... de sorte que la suite des x_{i+1} est une sous-suite de celle pour x_i.
Tu obtiens ça par construction inductive.
Ensuite tu peux prendre n_{ii} ou quelque chose comme ça.

Encore des flashs!