endomorphisme qui conserve la nilpotence.

Salut tout le monde!

Cette question m'est posée par un taupin toulousain à qui je fais le soutien :p

trouver toutes les endomorphismes f de M_n(C) tel que pour tout A nilpotente,f(A) l'est aussi ?


aprés quelques essaies,je me suis rendu compte que la question n'est plus évidentes...

f(M)=x*P^(-1)*M*P, avec x scalaire et P inversible

Bonjour ;

Il me semble que pour A nilpotente de Mn(C) l'application M ---> tr(M).A répond aussi à la question ! sauf erreur bien entendu

génial,la solution générale que j'ai trouvée est celle de m.elouafi,sauf que le x n'a pas d'intêret,on peut aisément la faire integrer dans P par exemple.

Je présume qu' ils sont de l'une des formes suivantes:
1) f(M) = x*P*M*P^(-1) , x scalaire P inversible
2) f(M)=x*P*transpose(M)*P^(-1) , x scalaire P inversible
3) f(M)= sum( f_i(M)*A_i, i=1..r), f_i étant des formes linéaires sur M_n(C) et A_i des matrices nilpotentes qui commutent deux à deux

BSR à Toutes et Tous !!
BSR Radouane , Mr Elouafi et Mr Elhor !!

@ Radouane : Merci d'avoir posé ce bel exercice .... il m'a torturé les neuronnes un bon bout de temps et le continue du reste ....
C'est celà faire des bonnes mathématiques !!
Je te fais savoir qu'il n'est pas possible d'incorporer le x ( ou sa racine ) dans P car le P^(-1) va bousculer ......

Merci aussi à Mr Elouafi et Mr Elhor pour ces propositions de familles de solutions du problème posé .
C'est Tout à Fait Génial !!!

La catégorie 3) regroupe en effet la famille de soluces proposées par Mr Elhor et Je dois comprendre qu'en fait , Vous avez cherché les endomorphismes f de Mn(C) qui satisfont la propriété :

<< f(M^k)={f(M)}^k pour tout entier naturel k et pour toute matrice M de Mn(C) >>

C'est déjà un Grand Pas !!!

Amicalement Vôtre !! LHASSANE

Je vois maintenant qu ils exsitent d autres! Cepenadnt si f est un isomorphisme alors les seules sont ceux définis par 1) et 2).
Si f n est pas bijective alors il existe des formes linéaires f_i et des matrices nilpotentes A_i telles que
Reste a caractériser ces matrices nilpotentes. Leurs commutativité est une condition suffaisante mais non nécessaire comme on le voit si on les choisies toutes triangulaires supérieures. Je cherche toujours!!

salut tout le monde

Franchement j'ai passé deux heures en scrutant dans ma tête une certaine solution,je me suis forgé comme objectif la forme que j'ai déjé donnée,mais apparemment j'ai obtenue une trés belle solution FAUSSE

elhor_abdelali a écrit:

Bonjour ;

Il me semble que pour A nilpotente de Mn(C) l'application M ---> tr(M).A répond aussi à la question ! sauf erreur bien entendu

Bonsoir , cette application est de restriction nulle sur l'espace des matrices nilpotentes ( elles sont de trace nulle ) donc la nilpotence de A est "superflue", sinon je crois que la famille de solutions proposées par M.Elouafi englobe tout ,
merci Radouane c'est intéressant .

Bonjour ;

selfrespect >> Oui ! En fait à la place de l'application trace on peut mettre toute autre forme linéaire de Mn(C) .

m.elouafi >> Toute matrice de Mn(C) est semblable à sa transposée ! Donc les cas 1) et 3) suffisent

Reste à prouver que ce sont les seules !!! sauf erreur bien entendu

Attention!! M est semblable a sa transposée via une matrice de passage qui dépend de M. 1) et 2) sont donc différent!

Tout à fait !

Reste maintenant à prouver que ces trois cas sont les seules

Est ce que qqun a til reussi a le faire?

Ce problème entre dans un domaine de recherche récent appelé:
A ma connaissance il n'est pas toujours résolue. Cependant on a montré que les isomorphismes de l'espace SL_n(C) des matrices de traces nuls qui envoient les nilpotents vers les nilpotents sont ceux que j ai cité plus haut 1) et 2).
Voir par exemple "Linear transformations that preserve the nilpotent matrices. Peter Botta, Stephen Pierce, and William Watkins"

Merci pour cette information.