Olympiades nationales 2007 DEV1-EX4 [Terminale]

Sujet: Olympiades nationales 2007 DEV1-EX4 [Terminale] Ven 10 Nov 2006, 18:20

$Olympiades nationales 2007 DEV1-EX4 [Terminale] 00b17a8b968a55acfd91fb67ea506292$ sont des réels strictement positifs tels que $Olympiades nationales 2007 DEV1-EX4 [Terminale] Ec127c90c1a5b9a00a4152ce6969707e$
démontrer que : $Olympiades nationales 2007 DEV1-EX4 [Terminale] 2daab30fcdc695b998f2b8d803e65a2f$

Féru Nombre de messages : 65 Age : 35 Date d'inscription : 03/08/2006

tu prouves que le membre de gauche de l inegalité est inferieur a n/2 en utilisant l identité remarquable a^2+1 sup ou= 2*a et tu prouves apres que le membre de droit de l inegalité est sup ou= n/2 en utilisant IAG deux fois et en se servant da la condition a_1+ a_2+....+a_n=n

j'ai fait la premiere partie mais j'ai pas eu le temps pour contiinuer , c bien dommage

Modérateur Nombre de messages : 529 Age : 38 Date d'inscription : 07/12/2005

le symbole & veut dire somme de 1 jusqu a n
par l ingalié 2x<=x²+1 la partie gauche est inférieur à n/2
par l inégalité de cauchy schawrtz l 'ingalité droite est supérier à n/2 , pour le voir :
(& 1/(a+1) ) (& a+1 ) >=n²
& 1/(a+1)*(2n)>=n²
d ou & 1/(a+1)>n/2

Féru Nombre de messages : 65 Age : 35 Date d'inscription : 03/08/2006

aussi, l inegalité de tshebyshev repond facilment au probleme.

Maître Nombre de messages : 111 Age : 33 Date d'inscription : 31/12/2005

au test j'ai repondu de la meme methode redigé par vietnam2007tu prouves que le membre de gauche de l inegalité est inferieur a n/2 en utilisant l identité remarquable a^2+1 sup ou= 2*a et tu prouves apres que le membre de droit de l inegalité est sup ou= n/2 en utilisant IAG deux fois et en se servant da la condition a_1+ a_2+....+a_n=n

Sujet: Olympiades nationales 2007 DEV1-EX4 [Terminale] Mar 14 Nov 2006, 16:46

c facil de démontrer ke (a1/a1²+1)+...+(an/an²+1)<=n/2 en utilisant l'inq a²+1>=2a
et si vs appliquez l'inéquation de jenson sur la fonction f(x)=1/1+x vs obtiendrez:
f(a1)+f(a2)+...+f(an)>= n f((a1+a2+...+an)/n)
ce ki implik:
(1/1+a1)+(1/1+a2)+...+(1/1+an) >=n/2

Modérateur Nombre de messages : 529 Age : 38 Date d'inscription : 07/12/2005

bienvenue aannoouuarr

de façon similaire, on pose g(x)=x/(x²+1)
g est concave d ou d après l inégalité de jensen
g(a1)+g(a2)+...+g(an)<=ng((a1+a2+...+an)/n)=ng(1)=n/2

ce qu il fallait démontrer

Sujet: Olympiades nationales 2007 DEV1-EX4 [Terminale] Mer 15 Nov 2006, 16:23

mais la fonction g n'est pas concave sur R+

Modérateur Nombre de messages : 529 Age : 38 Date d'inscription : 07/12/2005

j ai pas calculer g" , j ai passé juste par la forme de g (croissante décroissante )...je croi que t as raison

c tré tré facile si on utilise l inigalité de SHEBYCHEV