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 Montrer une inégalité.

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Calculus
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MessageSujet: Montrer une inégalité.   Montrer une inégalité. EmptyVen 26 Fév 2010, 20:13

Soit a, b et c des réels positifs.

Montrer que : a^3+b^3+c^3>=3abc.
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reda-t
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MessageSujet: Re: Montrer une inégalité.   Montrer une inégalité. EmptyVen 26 Fév 2010, 20:34

très facile ¨^^
<==> 1/2(a+b+c)((a-b)²+(b-c)²+(a-c)²) >=0
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Calculus
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MessageSujet: Re: Montrer une inégalité.   Montrer une inégalité. EmptyVen 26 Fév 2010, 20:42

Merci.

Je peux savoir, s'il te plaît, quelle inégalité, (forme générale) on utilise dans ce genre d'exercices ?
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reda-t
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MessageSujet: Re: Montrer une inégalité.   Montrer une inégalité. EmptyVen 26 Fév 2010, 21:00

non là je n'ai pas utilisé une inégalité spéciale: l'inégalité que tu nous a proposé s'écrit comme cela X^3+Y^3+Z^3 - 3XYZ=1/2(a+b+c)((a-b)²+(b-c)²+(a-c)²) qui est >= 0 donc l'inégalité est juste!
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the kiler
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MessageSujet: Re: Montrer une inégalité.   Montrer une inégalité. EmptyVen 26 Fév 2010, 21:04

voici la forme general: I.A.G (inegalités entre la moyenne arithmetique et geometrique)
Montrer une inégalité. Iag.bmp?rnd=0
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Calculus
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MessageSujet: Re: Montrer une inégalité.   Montrer une inégalité. EmptyVen 26 Fév 2010, 21:37

Merci à tous les deux.

La première méthode n'est pas facile à deviner et, si l'on veut développer le tout (ou factoriser, dans l'autre sens) pour faire une démonstration convaincante, il nous faudra plusieurs lignes (sans sauter d'étapes). Par contre, elle n'est pas du tout hors programme !

La deuxième tient en une ligne mais, est-il permis d'utiliser des inégalités et autres théorèmes hors programme ?
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Thalès
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Thalès

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MessageSujet: Re: Montrer une inégalité.   Montrer une inégalité. EmptySam 27 Fév 2010, 11:47

Aux Olympiades, on peux utiliser ce genre d'inégalités comme I.A.G, Cauchy-Schwartz, Chebychev etc...même s'ils sont tous hors programme.
Par contre si tu as ce genre d'inégalités à prouver dans un DS à l'école, il faudra bricoler avec les trucs standards de collège pour les prouver.
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nmo
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MessageSujet: Re: Montrer une inégalité.   Montrer une inégalité. EmptySam 27 Fév 2010, 19:02

Voici une autre inégalité se basant sur la tienne:
Démontrer que pour chaque a,b,c>0
(a+b+c)^3 >= 27abc.
Bonne chance.
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Math=life
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MessageSujet: Re: Montrer une inégalité.   Montrer une inégalité. EmptySam 27 Fév 2010, 19:10

Par I.A.G on a:
(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3)
don puisque les deux parties de cette inégalité sont positives, on peut tout elever au cube , donc:
[(a+b+c)/3]>=[(abc)^1/3]^3=abc
soit: [(a+b+c)^3]/27>=abc
donc en multipliant par 27 on obtient:
(a+b+c)^3>=27abc
CQFD
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nmo
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MessageSujet: Re: Montrer une inégalité.   Montrer une inégalité. EmptySam 27 Fév 2010, 19:33

Il existe deux autres solutions sans utilisation des théorèmes.
Pour ta solution, je ne peux pas juger car je ne sais pas comment appliquer I.A.G, peux-tu m'éclairer.
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nmo
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MessageSujet: Re: Montrer une inégalité.   Montrer une inégalité. EmptySam 27 Fév 2010, 19:37

Une autre question:
En utilisant : a^3+b^3+c^3>=3abc.
Montrez que (a^2+1)/b + (b^2+1)/c + (c^2+1)/a >=6.
Bonne chance.
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Math=life
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MessageSujet: Re: Montrer une inégalité.   Montrer une inégalité. EmptySam 27 Fév 2010, 19:43

si vous ne connaissez pas I.A.G renseignez vous en
Smile
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Calculus
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MessageSujet: Re: Montrer une inégalité.   Montrer une inégalité. EmptySam 27 Fév 2010, 20:54

nmo a écrit:
Voici une autre inégalité se basant sur la tienne:
Démontrer que pour chaque a,b,c>0
(a+b+c)^3 >= 27abc.
Bonne chance.

En se basant sur la mienne, comme tu dis :
On a la mienne : A^3+B^3+C^3>=3ABC
On pose : a=A^3, b=B^3 et c=C^3
Donc : a+b+c>=3RACINECUBIQUE(abc)
a, b et c sont positifs (on le sait déjà)
On lève au carré et c'est CQFD
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Sylphaen
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Sylphaen

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MessageSujet: Re: Montrer une inégalité.   Montrer une inégalité. EmptySam 27 Fév 2010, 22:49

nmo a écrit:
Une autre question:
En utilisant : a^3+b^3+c^3>=3abc.
Montrez que (a^2+1)/b + (b^2+1)/c + (c^2+1)/a >=6.
Bonne chance.
(a^2+1)/b + (b^2+1)/c + (c^2+1)/a >=2a/b +2b/c +2c/a
>=2(a/b+b/c+c/a)
>= 2.3=6 (a^3+b^3+c^3>=3abc..)
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Thalès
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MessageSujet: Re: Montrer une inégalité.   Montrer une inégalité. EmptySam 27 Fév 2010, 23:18

Les questions que vous êtes entrain d'avancer sont des applications directs d'I.A.G, je vous conseille de comprendre le principe et de l'appliquer ensuite dans la résolution d'inégalités
En utilisant I.A.G, je peux vous proposer de démontrer :
(x+y+z)(xy+yz+zx)>=9xyz (tel que x;y;z>0)
Déjà c'est facile de le démontrer puisque c'est aussi du Cauchy-Schwartz :
<=> (x+y+z).xyz(1/x+1/y+1/z)>=9xyz
<=> (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=9 (xyz>0)
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Calculus
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MessageSujet: Re: Montrer une inégalité.   Montrer une inégalité. EmptySam 27 Fév 2010, 23:41

@Thalès :

Pourrais-tu nous faire un petit cours sur ces deux inégalités particulièrement efficaces, s'il te plaît ?
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Thalès
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Thalès

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MessageSujet: Re: Montrer une inégalité.   Montrer une inégalité. EmptySam 27 Fév 2010, 23:50

Bon déjà pour I.A.G le principe est assez simple :
(x1+x2+...+xn)>= n . rac nième de (x1.x2....xn)
ce qui donne pour n=3 par exemple :
a+b+c>= 3 racine cubique de abc, et si tu élève au cube ça te donne : (a+b+c)^3>=27abc (c'est ce que vous avez déjà vu)
Pour l'inégalité que j'ai proposé c'est le même principe, tu as aussi :
ab+bc+ca>3 rac cubique de (a²b²c²) (car ab.bc.ca=a²b²c²)
et puisque a+b+c>=3 rac cubique de (abc)
Si tu fais le produit de ces deux inégalités :
(ab+bc+ca)(a+b+c)>9 rac cubique de a^3b^3c^3 = 9abc
Et pour cauchy schwartz c'est aussi simple il suffit de voir la relation pour bien la saisir.
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Calculus
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MessageSujet: Re: Montrer une inégalité.   Montrer une inégalité. EmptyDim 28 Fév 2010, 12:33

Merci, Thalès.
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nmo
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MessageSujet: Re: Montrer une inégalité.   Montrer une inégalité. EmptyDim 28 Fév 2010, 17:33

Voici la première méthode:
Remarquons que: (a+b+c)^3= a^3+b^3+c^3+ 3( a²b+a²c+b²c+ab²+ac²+bc²)+6abc (*)
Sachant que pour chaque réels x et y x^2+y^2>=2xy.
Donc:
a²b+bc²>=2rac(a²b)*rac(bc²)= 2abc.
a²c+b²c>=2rac(a²c)*rac(b²c)= 2abc.
ab²+ac²>=2rac(ab²)*rac(ac²)= 2abc.
Alors 3(a²b+a²c+b²c+ab²+ac²+bc²)>= 18 abc.
Donc 3(a²b+a²c+b²c+ab²+ac²+bc²)+6abc>= 24abc (**)
Et on a a^3+b^3+c^3>= 3abc (***)
En déduisant de (*) et (**) et (***)
On trouve a^3+b^3+c^3+3(a²b+a²c+b²c+ab²+ac²+bc²)+6abc >= 27abc.
Soit en résumé: (a+b+c)^3>= 27abc.
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nmo
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MessageSujet: Re: Montrer une inégalité.   Montrer une inégalité. EmptyDim 28 Fév 2010, 17:41

Voici la deuxième méthode:
On a: (a+b+c)²>=3(ab+ac+bc)
Donc (a+b+c)^3>=3(a+b+c)(ab+bc+ac).==>(1)
Après le développement on procède comme ça:
a²+b²>=2ab.
a²c+b²c>=2abc.
Donc (a+b+c)(ab+ac+bc)>=9abc. (Déja annoncé par Thalès)
Donc 3(a+b+c)(ab+ac+bc)>=27abc.==>(2)
Et de 1 et 2 on déduit le résultat:(a+b+c)^3>=27abc.
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Thalès
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Thalès

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MessageSujet: Re: Montrer une inégalité.   Montrer une inégalité. EmptyLun 01 Mar 2010, 13:15

Il faut savoir que Am Gm est une inégalité très puissante même si elle paraît simple, et résoud beaucoup de problèmes, faut bien la maîtriser et l'appliquer.
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MohE
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MohE

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MessageSujet: Re: Montrer une inégalité.   Montrer une inégalité. EmptyLun 01 Mar 2010, 18:40

il faut neanmoins savoir, que "maitriser" totalement Am-Gm n'est pas choses de faciles, aussi ce fameux theorème cache derière lui beaucoup de choses, et on peut prouver avec les plus forts des resultats Montrer une inégalité. Icon_smile
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nmo
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MessageSujet: Re: Montrer une inégalité.   Montrer une inégalité. EmptyMar 02 Mar 2010, 16:02

Sylphaen a écrit:
nmo a écrit:
Une autre question:
En utilisant : a^3+b^3+c^3>=3abc.
Montrez que (a^2+1)/b + (b^2+1)/c + (c^2+1)/a >=6.
Bonne chance.
(a^2+1)/b + (b^2+1)/c + (c^2+1)/a >=2a/b +2b/c +2c/a
>=2(a/b+b/c+c/a)
>= 2.3=6 (a^3+b^3+c^3>=3abc..)
Tu n'as pas utilisé a^3+b^3+c^3>=3abc.
Car 2a/b+2b/c+2c/a=>6.
Donne a/b+b/c+c/a=>3.
Ce qui est équivalent à ca^2+ab^2+cb^2>=3abc et pas à a^3+b^3+c^3>=3abc.
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Sylphaen
Expert sup
Sylphaen

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MessageSujet: Re: Montrer une inégalité.   Montrer une inégalité. EmptyMar 02 Mar 2010, 18:44

Si si , c'est la même chose .. :
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