tres tres tres tres tres .......................difficile

x.y.z des nombres reels.montrez que
1<=x²/(x-1)²+y²/(y-1)²+z²/(z-1)².sachant que
xyz=1

fmsi a écrit:

x.y.z des nombres reels.montrez que
1<=x²/(x-1)²+y²/(y-1)²+z²/(z-1)².sachant que
xyz=1

Pour que l'inégalité soit vérifiée, il faut que: x#1, y#1 et z#1.
J'essayerai avec plus tard.

C'est un exo de l'imo 2008 en espagne ..
il existe une solution simple mais avec beaucoup de calcul ..
remplacez z par 1/xy puis pose :
xy=p
x+y=s
après développement vous allez tombez sur une identité sur :
(s+p²-3p)²>=0

Sylphaen a écrit:

C'est un exo de l'imo 2008 en espagne ..
il existe une solution simple mais avec beaucoup de calcul ..
remplacez z par 1/xy puis pose :
xy=p
x+y=s
après développement vous allez tombez sur une identité sur :
(s+p²-3p)²>=0

Peux tu poster une preuve complète car je n'arrive pas à trouver ce que tu as trouvé. Merci d'avance.

Voici une très belle solution:

y-a-ss-i-n-e a écrit:

voici ma solution :

fmsi a écrit:

x.y.z des nombres reels.montrez que
1<=x²/(x-1)²+y²/(y-1)²+z²/(z-1)².sachant que
xyz=1

Posons tout d'abord, a=(x-1)/x , b=(y-1)/y et c=(z-1)/z, en fait ces réels a,b et c existent puisque xyz=1 implique que x,y et z sont tous non-nuls.
alors x= 1/(a-1) , b= 1/(y-1) et c=1/(z-1), ainsi, l'inégalité équivaut à:
1/a² + 1/b² + 1/c² >=1 ou encore a²b²+b²c²+c²a²>=a²b²c² avec:
(1-a)(1-b)(1-c)=1 <=> ab+bc+ca = abc + a+b+c,
On a alors a²b²+b²c²+c²a² = (ab+bc+ca)²-2abc(a+b+c)=(abc+a+b+c)²-2abc(a+b+c)=a²b²c² + (a+b+c)²>= a²b²c² => a²b²+b²c²+c²a²>=a²b²c²
C.Q.F.D.
avec égalité si et seulement si a+b+c=0 ceci implique que ab+bc+ca=abc.

P.S: lorsuqe je me met à trouver tous les cas d'égalité, c'est encore plus coriace, mais ce qui m'intrigue, c'est que j'ai trouvé qu'il y a une infinité de triplets (a,b,c) pour lesquels l'inégalité est verifié, i.e une infinité des triplets (x,y,z) pour lesquels l'inégalité est verifié!!!


je suis désolé, j'ai pas remarqué qu'une solution était posté lorsque j'écrivais la mienne, mais cette solution que je viens de trouver on l'as déjà trouvé dans ce site même . je change un peux ma solution,

On pose a=x/(x-1) , b= y/(y-1) et c= z/(z-1), l'inégalité devint équivalente à a²+b²+c²>=1 avec a+b+c=1+ab+bc+ca.
On a: a²+b²+c²=(a+b+c)²-2(ab+bc+ca)=1+(ab+bc+ca)²>=1 C.Q.F.D

salam
pour mOhE et yassine,se sont vraiment de jolies solution mais malheureusement ce ne sont pas vos propres solutions....vous pouvez consulter mathlinks.
et puis ce n'est pas si difficile;c'est considéré comme l'une des inégo triviales proposées aux IMO