Pour tous a,b de l'ensemble {1,...,n}, il existe exactement (n+1-a)(n+1-b) rectangles dont la longueur du coté horizontal vaut a et dont la longueur du côté vertical vaut b.
1) Cela étant, le nombre total de rectangles vaut la somme des (n+1-a)(n+1-b) pour a,b variant dans l'ensemble {1,...,n}. Or, cette somme n'est autre que la somme des ab pour a,b variant dans l'ensemble {1,...,n}. Cette dernière somme se factorise sous la forme (1+2+...+n)² et il est connu que cette expression est égale à l'expression 1³+2³+...+n³ (car elles sont toutes les deux égales à l'expression n²(n+1)²/4).
2) De plus, le nombre total de carrés vaut la somme des (n+1-a)² pour a variant dans l'ensemble {1,...,n}. Or, cette somme n'est autre que la somme des a² pour a variant dans l'ensemble {1,...,n}, c'est-à-dire 1²+2²+...+n².
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