Les groupes

[/img]https://servimg.com/view/12839416/4]

BSR exodian80 !!


Pour cette question et si mes Souvenirs sont Bons , on procède ainsi :

On définit sur G une relation binaire R de la manière suivante :
{ x, y dans G ; xRy } <====> { y=x OU y=x' }

Notation : x' désigne le SYMETRIQUE de x élément de G .
et e désigne l'élément neutre de G .

On montre sans peine que R est une Relation d' Equivalence sur G et que Classe(x)={x,x'} pour chaque x dans G .
Par ailleurs , on sait que les différentes classes modulo R constituent une PARTITION de G .
Une classe peut contenir un seul élément c'est le cas lorsque x=x' ou bien deux éléments distincts si x<>x' ......

Notons p le nombre de classes de cardinal 1 et q le nombre de classes de cardinal 2 alors , on aura :
Cardinal(G)=p+2q
Or Cardinal(G) est PAIR donc p=Cardinal(G) - 2.q serait PAIR et en plus comme Classe(e)={e} alors p>=1
d'ou p>=2
CONCLUSION : il existe un élément x dans G , x<>e tel que x=x' et celà veut dire que x est d'ordre 2 .

LHASSANE

Merci ODL! je savais la methode mais le choix de la relation d'équivalence m'a posé un probleme

Re-BSR exodian80 !!

Pour la Question 2) , il serait intéressant de considérer l'application F suivante :
x ---------> F(x)=x^2
qui envoie G dans G .
L'idée est prouver qu'elle est BIJECTIVE et comme G est de cardinal FINI ( impair ) on pourra vérifier l'injectivité OU la surjectivité suffira .....

Une autre remarque : F n'est pas forcément un ENDOMORPHISME de groupes !!
En effet (a.b)^2 n'est pas toujours égal à a^2 . b^2 , celà est VRAI si a.b=b.a et à plus forte raison si G est Commutatif , ce que l'énoncé ne précise pas .....

Bonne Réflexion . LHASSANE

Une Idée : utiliser la Relation d' Equivalence sur G suivante
{ x, y dans G ; xRy } <====> { x^2=y^2 }

Tout a fait, je crois qu'il faut préciser que G soit commutatif:
Si G est commutatif et de cardinal impair on peut considerer: F:G-->G et qui à y --> y^2
Ker(F)={y£G/y^2=e}
si Ker(F) est différent de {e} alors il existe y£G tel que y différent de e et y^2=e
c'est a dire il existe y£G tel que l'ordre de y est egal a 2: o(y)=2
or o(y) divise card(G) donc card(G) est pair: impossible
donc Ker(F)={e} càd F est injective
et comme F:G-->G, card(G)=card(G) et F injective
alors F est bijective, et par suite: pour tout x£G, il existe un seul y£G tel que x=y^2

ODL de retour .....

Oui c'est celà , Ta Démo est Tout à Fait Juste !!!
G abélien d'ordre impair et Th. de LAGRANGE etc ....

LHASSANE

On n'a pas besoin de supposer le groupe G commutatif pour montrer que F(x)=x² est bijective si le cardinal n de G est impair: tout x vérifie x^n=e (élément neutre) car le cardinal du groupe engendré par x divise le cardinal de G (théorème de Lagrange).
On a donc x=x^(n+1)=F(x^(q+1)) si n=2q+1.
F est donc surjective, donc bijective car G est fini.

Si n est pair, F n'est pas bijective car il existe au moins un x d'ordre 2, donc F(x)=e a au moins deux solutions..