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 joli test d'olympiades

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4 participants
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the kiler
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MessageSujet: joli test d'olympiades   joli test d'olympiades EmptyMer 10 Mar 2010, 13:10

exercice 1:
soit a;b et c des réels postifs.
monter que : joli test d'olympiades Gif et trouver les cas d'égalité
exercice 2:
soit x,y,a,b des réels tels que :
joli test d'olympiades Gif.latex?ax+by=3..et..ax^{2}+by^{2}=7..et..ax^{3}+by^{3}=16..et.
calculer: joli test d'olympiades Gif
exercice 3:
determiner toutes les fonctions joli test d'olympiades Gif tels que:
joli test d'olympiades Gif.latex?f(0)=\frac{1}{2}..et. avec a est un nombre réel
exercice 4:
ABCD est un rectangle et X un point de l'espace
montrer que : joli test d'olympiades Gif
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MessageSujet: Re: joli test d'olympiades   joli test d'olympiades EmptyMer 10 Mar 2010, 13:32

pour le 3 c'est la fonction constante 1/2
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the kiler
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MessageSujet: Re: joli test d'olympiades   joli test d'olympiades EmptyMer 10 Mar 2010, 13:55

we c juste
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Sylphaen
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Sylphaen


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MessageSujet: Re: joli test d'olympiades   joli test d'olympiades EmptyMer 10 Mar 2010, 18:22

Pour le 2 j'ai trouvé 20
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MohE
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MohE


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MessageSujet: Re: joli test d'olympiades   joli test d'olympiades EmptyMer 10 Mar 2010, 19:30

comme le titre l'indique, c'est vraiment un joli test, la première inégalité, je l'ai deja prouvé et je me souviens qu'elle etait très belle, je posterai ma solution ulterieurement. le deux l'est aussi, pour le trois, la fonction est constante, elle on a pour tous c de IR: f(x)=1/2, en fait je l'ai prouvé pour a un nombre constant. et finalement pour le dernier exo, je crois que la relation est juste pour tous points X du plan pas de l'espace.
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the kiler
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MessageSujet: Re: joli test d'olympiades   joli test d'olympiades EmptyMer 10 Mar 2010, 21:10

desolé les amis;pour le dernier exo,j'ais fais une erreur;c pas d'space mais du plan (merci mohe)
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MohE
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MessageSujet: Re: joli test d'olympiades   joli test d'olympiades EmptyMer 10 Mar 2010, 22:07

De rien Smile!! au fait, je crois qu'il vaut mieux ajouter dans le problème 3 que a est un réel constant; ainsi le problème devint plus jolie, pour le premier je vois que personne n'as trouvé qlq chose, voici un indice,
utiliser la lemme a²+ab+b²>=3/4 (a+b)²
Pour le dernier Pytagore fait l'affaire,
Pour le deux, ce n'est que du calculs.
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houssam110
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MessageSujet: Re: joli test d'olympiades   joli test d'olympiades EmptyMer 10 Mar 2010, 22:38

POur le dernier je c po si pytagore pt donner qq chose mais jlé résolu avec le produit scalaire
ifo calculer
XA^XC=XD²+XD^DB=XB²+XB^BD
pour la trouver il suffit de faire chal avec C et pour la 2eme faire chal avec B
donc XB²+XD²-BD²=2XA^XC
et on a aussi
XA^XC=XA²+XA^AC=XC²+CA^XC
donc XA²+XC²-AC²=2XA^XC
et puiske AC=BD
donc XA²+XC²=XD²+XB²
PS:^ = produit scalaire
par exemple AB^BC=(vecteur AB) .(vecteurBC)
pour le 1er exo l'homogénité de l'inego pour la rendre moins difficile
A+
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Sylphaen
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MessageSujet: Re: joli test d'olympiades   joli test d'olympiades EmptyJeu 11 Mar 2010, 19:17

Pour le 1 :
on utilise la lemme :
joli test d'olympiades Gif
On a :
joli test d'olympiades Gif
joli test d'olympiades Gif
joli test d'olympiades Gif joli test d'olympiades Gif Par CS ..
Puis :
joli test d'olympiades Gif.latex?%5Csqrt%7B2%7D%5Csum%20%5Csqrt%7Ba%5E%7B4%7D+%5Cfrac%7Ba%5E%7B2%7Dbc%7D%7B2%7D%7D=a%5Csqrt%7B2a%5E%7B2%7D+bc%7D+b%5Csqrt%7B2b%5E%7B2%7D+ac%7D+c%5Csqrt%7B2c%5E%7B2%7D+ab%7D%20.
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the kiler
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MessageSujet: Re: joli test d'olympiades   joli test d'olympiades EmptyJeu 11 Mar 2010, 20:57

et voila;voici mes solutions
exo 1:
on a: joli test d'olympiades Gif
et d'prés C.S..on a:
joli test d'olympiades Gif car joli test d'olympiades Gif
d'ou le resultat
exo 2:
on a :
joli test d'olympiades Gif
pour n=2: joli test d'olympiades Gif
pour n=3 joli test d'olympiades Gif
avec un peut d'arithmétique et on va trouver que;
joli test d'olympiades Gif.latex?x+y=-14..et.
donc pour n=4: joli test d'olympiades Gif
exo 3:
pour x=y=0: joli test d'olympiades Gif.latex?f(0)=f(0).f(a)+f(a).f(0)=2f(a)
pour y=0 joli test d'olympiades Gif (1)
remplacant x par (a-x) et y par a:
joli test d'olympiades Gif
posant a-x=b :
joli test d'olympiades Gif
et d'prés (1) : joli test d'olympiades Gif
d'ou joli test d'olympiades Gif
c.v.d que f est paire
ona aussi d'aprés (1) joli test d'olympiades Gif (2)
remplacant y par -x dans la relation (2):
joli test d'olympiades Gif.latex?\forall x\in \Re :f(x-x)=2f(x)f(-x)=2(f(x)^{2})\Leftrightarrow f(x)=\frac{1}{2}..(car.
exo 4:
posant joli test d'olympiades Gif.latex?\alpha =\angle XBA..et.
d'prés el kachi dans les deux triangles XAB ET XDC ON A /
joli test d'olympiades Gif.latex?XA^{2}=XB^{2}+AB^{2}-2AB.XB.cos\alpha ..et..XC^{2}=XD^{2}+DC^{2}-2XD.DC.cos\beta =XD^{2}+AB^{2}-2XD.AB
prenant la somme des deux egalités :
joli test d'olympiades Gif.latex?XA^{2}+XC^{2}=XB^{2}+XD^{2}+2AB(AB-(XB.cos\alpha +XD
donc il suffit de montrer que :
joli test d'olympiades Gif.latex?AB-(XB.cos\alpha +X
soient M et N les progections orthogonales de X sur (AB) et (CD) respectivement
donc :
joli test d'olympiades Gif.latex?cos\alpha =\frac{MB}{XB}..et.
d'ou joli test d'olympiades Gif
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MessageSujet: Re: joli test d'olympiades   joli test d'olympiades Empty

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